KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 335. (March 2012)

K. 335. A peculiar calculator only has four buttons on it: (eight plus root seven), (addition), (reciprocal) and (equals) (see the figure).

The calculator always carries out the operations with exact values, and it can also store the current value as a constant if the button is pressed twice. That is, in subsequent calculations whenever the button is pressed, the number is incremented by that value any number of times. (E.g. if the buttons         are pressed, it will display 24+3\sqrt 7). Prove that the result of the following sequence of operations is 1:

       

...  (56 times)

           

...  (15 times)

(6 pont)

Deadline expired on 10 April 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feladat példája szerint a \(\displaystyle 8+\sqrt 7\) reciprokát összeadtuk egymás után 57-szer \(\displaystyle \left( \frac{57}{8+\sqrt 7}\right)= \frac{57}{8+\sqrt 7}\cdot \frac{8-\sqrt 7}{8-\sqrt 7}=\frac{57(8-\sqrt 7)}{64-7}=8-\sqrt 7)\), majd ehhez hozzáadtuk a \(\displaystyle 8+\sqrt 7\)-et (a részeredmény: 16). Ennek reciprokát véve (1/16) a reciprokot egymás után 16-szor összedatuk. A végeredmény tehát \(\displaystyle 16\cdot \frac 1{16}=1\).


Statistics:

106 students sent a solution.
6 points:54 students.
5 points:9 students.
4 points:29 students.
3 points:12 students.
2 points:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley