Problem K. 337. (September 2012)
K. 337. How many five-digit numbers of the form are divisible by 45 if a, b and c denote different digits?
(6 pont)
Deadline expired on October 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. 45-tel pontosan akkor osztható egy szám, ha 9-cel és 5-tel osztható. 5-tel pontosan akkor osztható egy szám, ha 5-re vagy 0-ra végződik. Mivel a0, így a=5. Az eredeti számunk osztható 9-cel, így számjegyeinek összege, 10+2b+c is osztható 9-cel. Mivel 2b+c legnagyobb értéke 27, ezért 10+2b+c lehetséges értékei 18, 27, 36.
I. eset: Ha 2b+c=8, akkor a lehetséges számjegyek:
|
II. eset: Ha 2b+c=17, akkor a lehetséges számjegyek:
|
Itt a 6, 5 és 5, 7 párok nem megfelelőek, mert nem lenne minden számjegy különböző.
III. eset: Ha 2b+c=26, akkor a lehetséges számjegyek:
|
Tehát 9 megfelelő ötjegyű szám van.
Statistics:
261 students sent a solution. 6 points: 108 students. 5 points: 43 students. 4 points: 45 students. 3 points: 25 students. 2 points: 18 students. 1 point: 8 students. 0 point: 10 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012