Problem K. 338. (September 2012)
K. 338. Which pairs of the six (3 interior and 3 exterior) angle bisectors of a triangle may be perpendicular?
(6 pont)
Deadline expired on October 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az egy csúcsból induló szögfelezők merőlegesek egymásra, mert az általuk felezett szögek összege 180o. Ezeken kívül semelyik más párosításban nem lehetnek merőlegesek egymásra. Két belső szögfelező nem lehet merőleges egymásra, mert akkor az általuk felezett szögek felének összege is derékszög lenne, azaz a két szög összege 180o lenne, ami nem lehet. Két külső szögfelező sem lehet merőleges egymásra, hiszen a külső szögfelező merőleges a megfelelő belső szögfelezőre, azaz ha lenne két merőleges külső szögfelező, akkor az ezekhez tartozó belső szögfelezőknek is merőlegeseknek kellene lenniük (egy négyzetet zárna közre a négy egyenes). Egy külső és egy vele nem azonos csúcsból induló belső pedig azért nem lehet merőleges egymásra, mert akkor a külsőhöz tartozó belső szögfelező, mivel szintén merőleges erre, párhuzamos lenne egy másik belső szögfelezővel, ami nyilván nem lehet.
Statistics:
216 students sent a solution. 6 points: 59 students. 5 points: 19 students. 4 points: 7 students. 3 points: 12 students. 2 points: 69 students. 1 point: 33 students. 0 point: 13 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012