KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 341. Four congruent unit squares are separated by gaps of unit width as shown in the figure. Find the shortest path from A to B that touches each square. (It is not allowed to enter the interior of the squares.)

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 10 October 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az ábra jelöléseit használva a bal alsó négyzet egyik oldalán, valamint a jobb felső négyzet egyik oldalán mindenképpen végig kell menni. Ennek során A-ból indulva C-be vagy D-be, B-ből indulva pedig E-be vagy F-be érkezünk. A szimmetria miatt elég megvizsgálni, hogy D-ből E-be vagy F-be vezet-e a rövidebb út.

Ha D-ből F-be akarunk menni, akkor először a jobb alsó, majd a bal felső négyzetet kell érintenünk. a „kerülő utakat" kizárva az ábrán láthatóhoz hasonlóan kell közlekednünk, először valamilyen K pontban érintve a jobb alsó, majd L pontban érintve a bal felső négyzetet.

Tükrözzük a DK és FL szakaszokat a négyzetek megfelelő oldalaira, így minden esetben az X és Y pontokat összekötő töröttvonalat kapunk, amely akkor lesz a legrövidebb, ha egyenes, azaz az út a négyzetek csúcsain át vezet. A jelzett út hossza egy 3 egység oldalú négyzet átlója, azaz 3\sqrt2.

Ha D-ből E-be akarunk menni, akkor hasonló utat kell bejárnunk, de a bal felső négyzet érintése után F helyett E-be kell eljutnunk. Ez nyilván még az E-hez legközelebb levő G pontból is hosszabb, mint F-be menni, így a megfelelő DE utak a minimális DF útnál hosszabbak lesznek.


Statistics on problem K. 341.
228 students sent a solution.
6 points:Horváth 016 Gábor, Szathmári Balázs, Szlachányi Tádé, Szűcs Kilián Ádám.
5 points:Borbás András, Keszthelyi Szilvia, Ladányi Zsuzsanna, Németh Flóra Boróka, Sieben Bertilla, Szántó Benedek, Szűcs Áron Ábrahám.
4 points:4 students.
3 points:4 students.
2 points:59 students.
1 point:109 students.
0 point:37 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley