Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 343. (October 2012)

K. 343. A box contains buttons, with four holes, two holes or one hole on them. There is at least one button of each kind, and there are 61 holes and 27 buttons altogether. Given that the number of buttons with one hole is the largest, find the possible numbers of the individual types of buttons.

(6 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a négylyukúból \(\displaystyle x\), a kétlyukúból \(\displaystyle y\) darab. Mivel minden gombon van legalább egy lyuk, ezért minden gombon a megszámolt lyukak számát 1-gyel csökkentve a maradék lyukak száma 34. A négylyukú gombokról három, a kétlyukú gombokról már csak egy lyuk szerepel ebben, így \(\displaystyle 3x+y=34\). Mivel \(\displaystyle 3x<33\), ezért a lehetséges értékeket táblázatban rögzítjük, hozzávéve az egylyukú gombok számát is.

\(\displaystyle x\) (négylyukúak): 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
\(\displaystyle y\) (kétlyukúak): 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31
egylyukúak: 15 13 11 9 7 5 3 1 -1 -3 -5

Vegyük figyelembe, hogy az egylyukúból van a legtöbb, ezért a táblázat első három oszlopából olvasható ki a megoldás.


Statistics:

209 students sent a solution.
6 points:106 students.
5 points:27 students.
4 points:16 students.
3 points:39 students.
2 points:11 students.
1 point:5 students.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012