KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 347. (October 2012)

K. 347. Grandma in her seventies has more sons than daughters. Each of her sons has as many sons as siblings. Each of her daughters has daughters only. How old is grandma if the half of her age in years equals the sum of the numbers of her sons and grandsons?

(6 pont)

Deadline expired on 12 November 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a fiainak számát \(\displaystyle F\)-fel, lányainak számát \(\displaystyle L\)-lel, ekkor \(\displaystyle 35\leq F + F\cdot (F + L -1) < 40\), azaz \(\displaystyle 35 \leq F \cdot (F + L) < 40\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle 0 < L < F\), tehát \(\displaystyle 35 \leq F \cdot (F + L) < F \cdot (2F)\), így \(\displaystyle 35 < 2F^2\), amiből \(\displaystyle F \geq 5\). Másrészt \(\displaystyle F \cdot (F + 0) < F \cdot (F + L) < 40\), azaz \(\displaystyle F^2 < 40\), ahonnan \(\displaystyle F \leq 6\). Tehát \(\displaystyle F\) értéke csak 5 vagy 6 lehet. Ha \(\displaystyle F\) értéke 5, akkor \(\displaystyle L\) csak 4-nél kisebb lehet, különben már a fiúunokák számának kétszerese is 79-nél nagyobb lenne. Hasonlóan, \(\displaystyle F=6\) esetén \(\displaystyle L\) legfeljebb 2 lehet. Készítsünk táblázatot:

\(\displaystyle F\) \(\displaystyle L\) fiú unokák Luca nagyi életkorának fele
5 3 35 40
5 2 30 35
5 1 25 30
6 2 42 48
6 1 36 42

A táblázat alapján Luca nagyinak 5 fia és 2 lánya, minden fiának 6 fia van, így 70 éves.


Statistics:

197 students sent a solution.
6 points:72 students.
5 points:36 students.
4 points:12 students.
3 points:20 students.
2 points:27 students.
1 point:14 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley