Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 347. (October 2012)

K. 347. Grandma in her seventies has more sons than daughters. Each of her sons has as many sons as siblings. Each of her daughters has daughters only. How old is grandma if the half of her age in years equals the sum of the numbers of her sons and grandsons?

(6 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a fiainak számát \(\displaystyle F\)-fel, lányainak számát \(\displaystyle L\)-lel, ekkor \(\displaystyle 35\leq F + F\cdot (F + L -1) < 40\), azaz \(\displaystyle 35 \leq F \cdot (F + L) < 40\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle 0 < L < F\), tehát \(\displaystyle 35 \leq F \cdot (F + L) < F \cdot (2F)\), így \(\displaystyle 35 < 2F^2\), amiből \(\displaystyle F \geq 5\). Másrészt \(\displaystyle F \cdot (F + 0) < F \cdot (F + L) < 40\), azaz \(\displaystyle F^2 < 40\), ahonnan \(\displaystyle F \leq 6\). Tehát \(\displaystyle F\) értéke csak 5 vagy 6 lehet. Ha \(\displaystyle F\) értéke 5, akkor \(\displaystyle L\) csak 4-nél kisebb lehet, különben már a fiúunokák számának kétszerese is 79-nél nagyobb lenne. Hasonlóan, \(\displaystyle F=6\) esetén \(\displaystyle L\) legfeljebb 2 lehet. Készítsünk táblázatot:

\(\displaystyle F\) \(\displaystyle L\) fiú unokák Luca nagyi életkorának fele
5 3 35 40
5 2 30 35
5 1 25 30
6 2 42 48
6 1 36 42

A táblázat alapján Luca nagyinak 5 fia és 2 lánya, minden fiának 6 fia van, így 70 éves.


Statistics:

197 students sent a solution.
6 points:72 students.
5 points:36 students.
4 points:12 students.
3 points:20 students.
2 points:27 students.
1 point:14 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012