Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 348. (October 2012)

K. 348. The numerator and denominator of a fraction are two-digit numbers. The digit 3 occurs in the numerator, 5 occurs in the denominator. The other two digits are equal. How many such fractions of different values are there?

(6 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szám lehet \(\displaystyle a3/a5\), \(\displaystyle a3/5a\), \(\displaystyle 3a/a5\) és \(\displaystyle 3a/5a\) alakú. Az első 3-ból 9 különböző van, a negyedikből 10, de lehetnek közöttük egyenlők is.

Kétféle felírás egyszerűsítés nélkül hat esetben egyezhet meg:

1.) \(\displaystyle a3/a5= a3/5a\), vagyis \(\displaystyle a5 = 5a\), azaz \(\displaystyle a=5\);

2.) \(\displaystyle a3/a5=3a/a5\), itt \(\displaystyle a3=3a\), azaz \(\displaystyle a=3\);

3.) \(\displaystyle a3/a5=3a/5a\), itt \(\displaystyle a3=3a\) (\(\displaystyle a=3\)) és \(\displaystyle a5=5a\) (\(\displaystyle a=5\)), ami lehetetlen;

4.) \(\displaystyle a3/5a =3a/a5\), itt szintén;

5.) \(\displaystyle a3/5a =3a/5a\), itt \(\displaystyle a3 = 3a\), azaz \(\displaystyle a=3\);

6.) \(\displaystyle 3a/a5 =3a/5a\), itt \(\displaystyle 5a = a5\), azaz \(\displaystyle a=5\).

Tehát egyszerűsítés nélkül 4 egyezést találtunk.

Meg kell még nézni, hogy a törtek egyszerűsített alakja mikor egyezhet meg. Ehhez vizsgáljuk meg, melyik törtet lehet és mire egyszerűsíteni.

1.) \(\displaystyle a3/a5\): itt egy \(\displaystyle a\) sem megfelelő.

2.) \(\displaystyle a3/5a\): itt \(\displaystyle a=6\) jó: \(\displaystyle 63/56=9/8\).

3.) \(\displaystyle 3a/a5\): itt \(\displaystyle a=5\) megfelelő: \(\displaystyle 35/55=7/11\).

4.) \(\displaystyle 3a/5a\): itt 6 megfelelő \(\displaystyle a\) van: \(\displaystyle 30/50=15/25=6/10=3/5\); \(\displaystyle 32/52=16/26=8/13\); \(\displaystyle 34/54=17/27\); \(\displaystyle 35/55=7/11\); \(\displaystyle 36/56=18/28=9/14\); \(\displaystyle 38/58=19/29\).

Ezek közül csak két egyenlő van, de azt már fent is beleszámoltuk, mert az eredeti számok is megegyeznek (35/55).

Így a különböző értékű számok száma: \(\displaystyle 9\cdot3 + 10 – 4 = 33\).


Statistics:

199 students sent a solution.
6 points:Bauer Márton, Bottlik Judit, Coulibaly Patrik, Cserna Koppány Levente, Dobos-Kovács Mihály, Hamitova Regina, Kasó Ferenc, Kasó Gergő, Kerekes Klaudia, Kocsis Júlia, László Márton, Nagy Ferenc, Orbán Gábor, Pipis Bence, Stock Gábor, Szalai Tibor Viktor, Szentgyörgyi Flóra, Szilágyi Botond, Trón Réka, Varga 123 Péter, Varga Liza.
5 points:Baglyas Márton, Gergely 97 Dominik Brúnó, Kasza Bence, Mihálykó Péter, Németh Flóra Boróka, Pálfi Mária, Szűcs Kilián Ádám, Tánczik Zsófia.
4 points:75 students.
3 points:26 students.
2 points:1 student.
1 point:33 students.
0 point:34 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012