KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 352. (November 2012)

K. 352. Make a 5×5 table, and fill it out with the numbers 1 to 25, left to right, top to bottom. Interchange the rows an arbitrary number of times, and then interchange the columns an arbitrary number of times. Add 7 to each entry of the ``mixed'' table obtained in this way. Finally, add the numbers along one of the diagonals. Prove that the result is always 100.

1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25

(6 pont)

Deadline expired on 10 December 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az s. sor o. oszlopában eredetileg az \(\displaystyle 5(s – 1) + o\) érték van. Ehhez adunk 7-et, így \(\displaystyle 5(s – 1) + o + 7\) lesz belőle. Akárhogy is keveredjenek teljes sorok és oszlopok, azzal, hogy a végén a főátló elemeit adjuk össze, minden oszlopból és minden sorból egyetlen érték kerül az összegbe, azaz minden lehetséges s és o értékből egy-egy, csak mindig más párosításban. Pl.:

5(3 – 1) + 1 + 7 + 5(2 – 1) + 4 + 7 + 5(4 – 1) + 2 + 7 + 5(1 – 1) + 3 + 7 + 5(5 – 1) + 5 + 7

Ezt átrendezve:

\(\displaystyle 5(2 + 1 + 3 + 0 + 4) + (1 + 4 + 2 + 3 + 5) + 5 7 = 5(0 + 1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 5 7 = 50 + 15 + 35 = 100\)

lesz az összeg minden esetben.


Statistics:

>
128 students sent a solution.
6 points:Balog 6 Klaudia, Bauer Márton, Bodonhelyi Anna, Borbás András, Bottlik Judit, Coulibaly Patrik, Csatári Jakab, Cserna Koppány Levente, Diósi Marcell, Galbács Márton, Ghyczy András, Ivkovic Iván, Juhász 326 Dániel, Kasza Bence, Kis Levente, Kocsis Júlia, Kocsis-Savanya Miklós, Kósa Szilárd, László Márton, Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Mihálykó Péter, Németh Flóra Boróka, Nyul Flóra, Pálfi Mária, Papp 535 Ágnes, Pintér Gergő, Ratkovics Gábor, Somogyvári András, Stefics Attila, Szabó 11 Dániel, Szalai Tibor Viktor, Szántó Benedek, Szathmári Balázs, Szentgyörgyi Flóra, Szilágyi Botond, Szűcs Kilián Ádám, Tauber Boglárka, Turi Sára, Varga 123 Péter, Varga Liza, Záhonyi Petra.
5 points:Horváth 016 Gábor, Koczka István Bertalan.
4 points:42 students.
3 points:21 students.
2 points:5 students.
1 point:6 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley