Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 352. (November 2012)

K. 352. Make a 5×5 table, and fill it out with the numbers 1 to 25, left to right, top to bottom. Interchange the rows an arbitrary number of times, and then interchange the columns an arbitrary number of times. Add 7 to each entry of the ``mixed'' table obtained in this way. Finally, add the numbers along one of the diagonals. Prove that the result is always 100.

1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az s. sor o. oszlopában eredetileg az \(\displaystyle 5(s – 1) + o\) érték van. Ehhez adunk 7-et, így \(\displaystyle 5(s – 1) + o + 7\) lesz belőle. Akárhogy is keveredjenek teljes sorok és oszlopok, azzal, hogy a végén a főátló elemeit adjuk össze, minden oszlopból és minden sorból egyetlen érték kerül az összegbe, azaz minden lehetséges s és o értékből egy-egy, csak mindig más párosításban. Pl.:

5(3 – 1) + 1 + 7 + 5(2 – 1) + 4 + 7 + 5(4 – 1) + 2 + 7 + 5(1 – 1) + 3 + 7 + 5(5 – 1) + 5 + 7

Ezt átrendezve:

\(\displaystyle 5(2 + 1 + 3 + 0 + 4) + (1 + 4 + 2 + 3 + 5) + 5 7 = 5(0 + 1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 5 7 = 50 + 15 + 35 = 100\)

lesz az összeg minden esetben.


Statistics:

128 students sent a solution.
6 points:Balog 6 Klaudia, Bauer Márton, Bodonhelyi Anna, Borbás András, Bottlik Judit, Coulibaly Patrik, Csatári Jakab, Cserna Koppány Levente, Diósi Marcell, Galbács Márton, Ghyczy András, Ivkovic Iván, Juhász 326 Dániel, Kasza Bence, Kis Levente, Kocsis Júlia, Kocsis-Savanya Miklós, Kósa Szilárd, László Márton, Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Mihálykó Péter, Németh Flóra Boróka, Nyul Flóra, Pálfi Mária, Papp 535 Ágnes, Pintér Gergő, Ratkovics Gábor, Somogyvári András, Stefics Attila, Szabó 11 Dániel, Szalai Tibor Viktor, Szántó Benedek, Szathmári Balázs, Szentgyörgyi Flóra, Szilágyi Botond, Szűcs Kilián Ádám, Tauber Boglárka, Turi Sára, Varga 123 Péter, Varga Liza, Záhonyi Petra.
5 points:Horváth 016 Gábor, Koczka István Bertalan.
4 points:42 students.
3 points:21 students.
2 points:5 students.
1 point:6 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2012