Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 354. (November 2012)

K. 354. The sum of the squares of a certain positive integer and its two neighbours can be expressed as the sum of five consecutive integers. How many three-digit numbers have this property?

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a megfelelő pozitív egész szám az \(\displaystyle a\). Ekkor:

\(\displaystyle (a-1)^2+a^2+(a+1)^2=(b-2)+(b-1)+b+(b+1)+(b+2),\)

ahol \(\displaystyle b\) is pozitív egész szám. Ezt rendezzük egyszerűbb alakra:

\(\displaystyle 3a^2+2=5b.\)

A jobb oldal osztható öttel, így a bal oldal is 5-tel osztható kell, hogy legyen.

A bal oldalon az \(\displaystyle a^2\) egy négyzetszám, ezért az utolsó számjegye csak 0, 1, 4, 5, 6 vagy 9 lehet. Ha a háromszorosát kettővel növeljük, akkor a végződés 2, 5, 4, 7, 0, 9 lehet. Két esetben kaptunk öttel osztható végződést. Vagyis csak azok a számok lesznek jók, amelyeknek a négyzete 1-re, vagy 6-ra végződik. Ezek a számok 1-re, 4-re, 6-ra, illetve 9-re végződhetnek. A megfelelő háromjegyűek: 101, 104, 106, 109, 111, 114, 116, 119, …, 991, 994, 996, 999. Vagyis \(\displaystyle 4\cdot\left(\frac{991-101}{10}+1\right)=360\) darab ilyen tulajdonságú szám van.


Statistics:

132 students sent a solution.
6 points:57 students.
5 points:15 students.
4 points:6 students.
3 points:23 students.
2 points:10 students.
1 point:2 students.
0 point:19 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2012