A K. 356. feladat (2012. december)

K. 356. A hatjegyű szám két számjegye hiányzik. Milyen számjegyeket írjunk a hiányzó helyekre, hogy az így kapott hatjegyű szám osztható legyen 36-tal és 117-tel is?

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel \(\displaystyle 36 = 9\cdot4\) és \(\displaystyle 117 = 9\cdot13\), továbbá a 9, a 4 és a 13 páronként relatív prímek, ezért a keresett szám a feltételeknek pontosan akkor tesz eleget, ha osztható 4-gyel, 9-cel és 13-mal. A tízes helyiértékre 1, 3, 5, 7, 9 kerülhet, hogy a szám 4-gyel osztható legyen. A meglévő számjegyek összege 5, így a számjegyek összege 9-cel osztható lesz, ha a hiányzó két számjegy összege 4 vagy 13 (22 már nem elérhető). Ebből és az előzőekben megadott lehetőségekből a következő számok teljesítik mindkét feltételt: 230112, 210132, 280152, 260172, 240192. A keresett szám 13-mal is osztható. Ennek a feltételnek csak a 210132 tesz eleget, vagyis az 1 és a 3 a két hiányzó számjegy.

Statisztika:

182 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	104 versenyző.
5 pontot kapott:	47 versenyző.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai