Problem K. 358. (December 2012)

K. 358. In a warehouse, there are cubical boxes of the same mass and size stacked in the form of a large rectangular block. A worker is loading the boxes onto a truck. In each step, he transfers to the truck one vertical or horizontal layer of boxes, with a thickness of a single box. (He is able to approach the stack of boxes from any direction.) The mass of the boxes is a whole number of kilograms. The total mass of the boxes loaded in the first step is 60 kg, in the second step it is 84 kg, and in the third step it is 112 kg. What may be the total mass of all the boxes, in kilograms?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel egy doboz tömege kg-ban mérve egész szám, ezért osztója 60-nak, 84-nek és 112-nek is. A számok prímtényezős felbontását megvizsgálva a szóba jöhető értékek: 1, 2 és 4 kg. A pakolás során egyre több dobozt rakott be az egyes fázisokban, ezért ez három különböző irányú réteget jelentett (azaz semelyik kettő közülük nem párhuzamos helyzetű egymással). Legyenek a téglatest élei a, b és c doboz hosszúságúak. Az általánosságot nem szorítja meg, ha a bepakolt rétegekben levő dobozok darabszámát \(\displaystyle ab\), \(\displaystyle a(c–1)\), \(\displaystyle (c–1)(b–1)\) jelöli. (Most \(\displaystyle b, c \geq 2\), viszont \(\displaystyle a = 1\) lehetséges; ha a téglatest két vagy három éle 1 doboznyi lenne, akkor az első vagy a második berakásnál elfogynának a dobozok, és nem tudnánk folytatni.)

1.eset: Egy doboz tömege 1 kg. Ekkor a tömegekre vonatkozó összefüggésekből \(\displaystyle ab = 60\), \(\displaystyle \frac{a}{b-1}=\frac{84}{112}=\frac34\). Ha a 60 osztópárjait megvizsgáljuk (az \(\displaystyle a < b\) eseteket, mert ha \(\displaystyle b\)-ből 1-et levonunk, akkor még mindig nagyobb lesz \(\displaystyle a\)-nál), akkor nem találunk megfelelő párokat:

2.eset: Egy doboz tömege 2 kg. Ekkor a fentiekhez hasonlóan \(\displaystyle ab = 30\), \(\displaystyle \frac{a}{b-1}=\frac34\). Ha a 30 osztópárjait megvizsgáljuk (az \(\displaystyle a < b\) eseteket, mert ha \(\displaystyle b\)-ből 1-et levonunk, akkor még mindig nagyobb lesz \(\displaystyle a\)-nál), akkor nem találunk megfelelő párokat:

3.eset: Egy doboz tömege 4 kg. Ekkor a fentiekhez hasonlóan \(\displaystyle ab = 15\), \(\displaystyle \frac{a}{b-1}=\frac34\). Ha a 15 osztópárjait megvizsgáljuk (az \(\displaystyle a < b\) eseteket, mert ha \(\displaystyle b\)-ből 1-et levonunk, akkor még mindig nagyobb lesz \(\displaystyle a\)-nál), akkor egy megfelelő értékpárt találunk:

Tehát egyetlen megoldásként kapjuk, hogy \(\displaystyle a = 3\), \(\displaystyle b = 5\). Ellenőrizhető, hogy a hozzájuk kiszámítható \(\displaystyle c = 8\) mindkét további feltételnek megfelel. Így a dobozok összes száma \(\displaystyle 3\cdot5\cdot8 = 120\) volt, összes tömegük pedig 480 kg.

Statistics:

109 students sent a solution.
6 points:	Bagosi Lívia, Bálint Roland Péter, Berekai Eszter, Bodonhelyi Anna, Bottlik Judit, Coulibaly Patrik, Csatári Jakab, Cserna Koppány Levente, Farkas Olivér, Garaba Flórián, Hegedűs Henrietta, Horváth 016 Gábor, Horváth Emma, Juhász 326 Dániel, Kaprinai Ádám, Kasza Bence, Kis Levente, Kocsis Júlia, László Márton, Márton Tamás, Mészáros 01 Viktória, Mihálykó Péter, Németh Flóra Boróka, Pálfi Mária, Papp 535 Ágnes, Pintér Gergő, Pipis Bence, Stark Patrícia, Szabó 11 Dániel, Szathmári Balázs, Szűcs Kilián Ádám, Szücs Patrícia, Tauber Boglárka, Varga 123 Péter, Vecseri Bence, Záhonyi Petra.
5 points:	20 students.
4 points:	10 students.
3 points:	12 students.
2 points:	2 students.
1 point:	9 students.
0 point:	18 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012