A K. 359. feladat (2012. december)

K. 359. Legyen az n természetes szám legalább 5. Bizonyítsuk be, hogy egy téglalap felbontható n darab kisebb téglalapra úgy, hogy ezek közül semelyik két szomszédos téglalap egyesítése nem alkot egy nagyobb téglalapot.

(Bolyai Matematika Csapatverseny 2012 feladata nyomán)

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Adunk egy eljárást, amelynek alapján a felbontás tetszőleges \(\displaystyle n \geq 5\)-re elkészíthető. Bontsunk fel egy téglalapot az ábra szerint 5, 6, 7 téglalapra a feltételnek megfelelően!

Az eljárást úgy kell folytatni, hogy ha \(\displaystyle n\) páros, akkor a téglalap tetején vízszintesen levágunk egy téglalapot, és a maradékot felbontjuk \(\displaystyle n–1\) részre a korábbi mintának megfelelően, ha \(\displaystyle n\) páratlan, akkor pedig a téglalap jobb oldalán levágunk függőlegesen egy téglalapot, és a maradékot felbontjuk \(\displaystyle n–1\) részre a korábbi minta alapján. Ez megfelelő lesz, hiszen páros \(\displaystyle n\)-ekre felül vízszintes téglalap szerepel a darabolásban, páratlanokra pedig jobboldalt függőleges, ezek nem alkotnak téglalapot sem egymással, sem a többi mellettük levővel.

Statisztika:

120 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bálint Roland Péter, Bauer Márton, Bottlik Judit, Csatári Jakab, Cserna Koppány Levente, David A Veres, Galbács Márton, Horváth 016 Gábor, Kasza Bence, Kocsis-Savanya Miklós, Pálfi Mária, Stock Gábor, Szűcs Kilián Ádám.
5 pontot kapott:	Coulibaly Patrik, Kósa Szilárd, László Márton, Mihálykó Péter, Papp 535 Ágnes, Ratkovics Gábor, Surek Emese.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	28 versenyző.
2 pontot kapott:	32 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.

A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai