 |
A K. 364. feladat (2013. január) |
K. 364. Egy téglatest alakú fadarab egyik élének hossza 10 cm. Az oldallapok irányára merőlegesen átmarjuk a téglatestet, mindhárom irányban egy-egy 2 cm alapélű négyzetes hasáb alakú lyukat készítve. (A furatok nem találkoznak egymással.) A 10 cm-es éllel párhuzamosan a harmadik furatot készítettük. Az első fúrás után a téglatest felszíne 32 cm2-rel nőtt, a második fúrás után a már kifúrt téglatest felszíne 15,92%-kal lett nagyobb. Mennyi lett a három lyuk kifúrása után kapott test térfogata?
(6 pont)
A beküldési határidő 2013. február 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az első fúrás után a téglatest felszínéből el kell vennünk két 2 cm oldalú négyzet területét, és hozzá kell adnunk a hasáb alakú lyuk belső felszínét, így kapjuk meg a megváltozott felszínt. Mivel a növekmény 32 \(\displaystyle \rm{cm}^2\), ezért a hasáb oldallapjainak összterülete 32 + 8 =40 \(\displaystyle \rm{cm}^2\). Az oldallapok téglalapok (4 db), melyek egyik oldala az eredeti téglatest egyik éle, másik oldala pedig 2 cm. Egy ilyen téglalap területe 10 \(\displaystyle \rm{cm}^2\), tehát a téglatest egyik éle 5 cm hosszú. A téglatest harmadik élének hosszát jelölje \(\displaystyle x\), a második lyuk ezzel párhuzamosan halad, tehát mélysége \(\displaystyle x\) cm. A második lyuk fúrása előtt a már lyukas téglatest felszíne \(\displaystyle 10x+20x+100+32=30x+132~\rm{cm}^2\) volt, a növekedés pedig ez előzőek alapján \(\displaystyle 8x–8~\rm{cm}^2\), ami a felszín 15,92%-a. Ebből a \(\displaystyle 0,1592\cdot(30x+132)= 8x –8\) egyenlet írható fel, melynek megoldása \(\displaystyle x \approx 9\) cm. A kifúrt test térfogata a kerekített értékekkel (10, 9, 5 cm) számolva az élek hosszát: \(\displaystyle 450 – 4\cdot(10+9+5) = 354 ~\rm{cm}^3\).
Statisztika:
103 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 65 versenyző. 5 pontot kapott: 9 versenyző. 4 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 23 versenyző.
A KöMaL 2013. januári matematika feladatai