Problem K. 376. (March 2013)

K. 376. In how many different ways is it possible to select 3 out of the 16 points below, such that they are the vertices of a triangle?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A 16 pont közül 3-at \(\displaystyle \binom{16}{3}=\frac{16\cdot15\cdot14}{3\cdot2\cdot1}=560\)-féleképpen választhatunk ki. Ezek közül azok nem lesznek jók, amikor a 3 pont egy egyenesbe esik. Ez az egyenes lehet függőleges, vízszintes vagy átlós irányú egyenes. Függőleges egyenesre eső pontokat egy oszlopból 4-féleképpen, tehát összesen 16-féleképpen választhatunk, ugyanennyi ponthármas jelent vízszintes egyeneseket is. Átlósan jobbra lefelé álló egyenest adó ponthármast 1+4+1-féleképpen kaphatunk, ugyanennyi van a másik irányban is, így összesen 16+16+6+6=44-féle ponthármas nem megfelelő. Tehát a háromszögeket adó kiválasztások száma 516.

Statistics:

107 students sent a solution.
6 points:	53 students.
5 points:	15 students.
4 points:	4 students.
3 points:	10 students.
2 points:	10 students.
1 point:	12 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2013