KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 388. The letters of the English alphabet (ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ) are arranged in a pyramid, such that each row contains one more letter than the previous row. When the letter Z is reached, it is followed by the letters A, B, C, ...again. In which rows will two consecutive rows first end with the letter M? In which row will a letter M first occur at the end of the row?

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 11 November 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az M betűig 13 betű van, az ABC pedig 26 betűből áll, ami a 13 többszöröse. Így az első kérdésre a válasz egyszerű. Ha mindkét sor végén M betű áll, akkor a második M betű végű sorban minden betűnek ismétlődnie kell néhányszor, hogy ismét az M legyen az utolsó betű. A legegyszerűbb, ha egyszer ismétlődik minden, azaz 26 betű van a sorban, és így a 26. sorban vagyunk. Mivel \(\displaystyle 1+2+...+25=\frac{26\cdot25}{2}\) osztható 13-mal, így a 25. és 26. soroknál fordul elő először, hogy két egymást követő sor M-mel végződik.

A piramis \(\displaystyle n\)-edik sorának végén az ismétlődő ABCD...XYZABC... betűsor \(\displaystyle 1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}\)-edik betűje áll. Az M az ABC-ben a 13. betű, és az ABC hossza \(\displaystyle 26=2\cdot13\), így egyrészt \(\displaystyle 13|\frac{n(n+1)}{2}\), másrészt ez utóbbi szám a 13-nak páratlan számú többszöröse kell, hogy legyen. Mivel 13 prímszám, így a legkisebb két eset az \(\displaystyle n=12\) és az \(\displaystyle n=13\). Ha \(\displaystyle n=12\), akkor \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} =6\cdot13\), ami 13-nak páros számú többszöröse. Ha \(\displaystyle n=13\), akkor \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} =7\cdot13\). Tehát a 13. sor végén áll először M betű.


Statistics on problem K. 388.
195 students sent a solution.
6 points:82 students.
5 points:17 students.
4 points:24 students.
3 points:14 students.
2 points:22 students.
1 point:8 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:10 solutions.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley