KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 388. (October 2013)

K. 388. The letters of the English alphabet (ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ) are arranged in a pyramid, such that each row contains one more letter than the previous row. When the letter Z is reached, it is followed by the letters A, B, C, ...again. In which rows will two consecutive rows first end with the letter M? In which row will a letter M first occur at the end of the row?

(6 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az M betűig 13 betű van, az ABC pedig 26 betűből áll, ami a 13 többszöröse. Így az első kérdésre a válasz egyszerű. Ha mindkét sor végén M betű áll, akkor a második M betű végű sorban minden betűnek ismétlődnie kell néhányszor, hogy ismét az M legyen az utolsó betű. A legegyszerűbb, ha egyszer ismétlődik minden, azaz 26 betű van a sorban, és így a 26. sorban vagyunk. Mivel \(\displaystyle 1+2+...+25=\frac{26\cdot25}{2}\) osztható 13-mal, így a 25. és 26. soroknál fordul elő először, hogy két egymást követő sor M-mel végződik.

A piramis \(\displaystyle n\)-edik sorának végén az ismétlődő ABCD...XYZABC... betűsor \(\displaystyle 1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}\)-edik betűje áll. Az M az ABC-ben a 13. betű, és az ABC hossza \(\displaystyle 26=2\cdot13\), így egyrészt \(\displaystyle 13|\frac{n(n+1)}{2}\), másrészt ez utóbbi szám a 13-nak páratlan számú többszöröse kell, hogy legyen. Mivel 13 prímszám, így a legkisebb két eset az \(\displaystyle n=12\) és az \(\displaystyle n=13\). Ha \(\displaystyle n=12\), akkor \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} =6\cdot13\), ami 13-nak páros számú többszöröse. Ha \(\displaystyle n=13\), akkor \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} =7\cdot13\). Tehát a 13. sor végén áll először M betű.


Statistics:

195 students sent a solution.
6 points:82 students.
5 points:17 students.
4 points:24 students.
3 points:14 students.
2 points:22 students.
1 point:8 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:10 solutions.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley