Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 394. (November 2013)

K. 394. The sum of the squares of a positive integer and its two neighbours is equal to the sum of five consecutive integers. How many three-digit numbers of this property are there?

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a megfelelő pozitív egész szám az \(\displaystyle a\). Ekkor:

\(\displaystyle (a-1)^{2}+a^{2}+(a+1)^{2}=(b-2)+(b-1)+b+(b+1)+(b+2),\)

ahol \(\displaystyle b\) is pozitív egész szám, különben a jobb oldal nem lenne pozitív. Ezt rendezzük egyszerűbb alakra:

\(\displaystyle 3a^{2}+2=5b.\)

A jobb oldal osztható öttel. A bal oldalon az \(\displaystyle a^{2}\) egy négyzetszám, ezért az utolsó számjegye csak 0, 1, 4, 5, 6 vagy 9 lehet. Ha a háromszorosát kettővel növeljük, akkor a végződés 2, 5, 4, 7, 0 vagy 9 lehet. Kétszer kaptunk öttel osztható esetet. Vagyis csak azok a számok lesznek jók, amelyeknek a négyzete 1-re, vagy 6-ra végződik. Ezek a számok 1-re, 4-re, 6-ra, illetve 9-re végződhetnek, és mindegyik ilyen jó számhoz van egy megfelelő \(\displaystyle b\) szám. A megfelelő háromjegyűek: 101, 104, 106, 109, 111, 114, 116, 119, …, 991, 994, 996, 999. Ez \(\displaystyle 4\cdot(99-10+1)=360\) darab szám.


Statistics:

158 students sent a solution.
6 points:92 students.
5 points:16 students.
4 points:7 students.
3 points:10 students.
2 points:12 students.
1 point:6 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:10 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013