Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 394. (November 2013)

K. 394. The sum of the squares of a positive integer and its two neighbours is equal to the sum of five consecutive integers. How many three-digit numbers of this property are there?

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a megfelelő pozitív egész szám az \(\displaystyle a\). Ekkor:

\(\displaystyle (a-1)^{2}+a^{2}+(a+1)^{2}=(b-2)+(b-1)+b+(b+1)+(b+2),\)

ahol \(\displaystyle b\) is pozitív egész szám, különben a jobb oldal nem lenne pozitív. Ezt rendezzük egyszerűbb alakra:

\(\displaystyle 3a^{2}+2=5b.\)

A jobb oldal osztható öttel. A bal oldalon az \(\displaystyle a^{2}\) egy négyzetszám, ezért az utolsó számjegye csak 0, 1, 4, 5, 6 vagy 9 lehet. Ha a háromszorosát kettővel növeljük, akkor a végződés 2, 5, 4, 7, 0 vagy 9 lehet. Kétszer kaptunk öttel osztható esetet. Vagyis csak azok a számok lesznek jók, amelyeknek a négyzete 1-re, vagy 6-ra végződik. Ezek a számok 1-re, 4-re, 6-ra, illetve 9-re végződhetnek, és mindegyik ilyen jó számhoz van egy megfelelő \(\displaystyle b\) szám. A megfelelő háromjegyűek: 101, 104, 106, 109, 111, 114, 116, 119, …, 991, 994, 996, 999. Ez \(\displaystyle 4\cdot(99-10+1)=360\) darab szám.


Statistics:

158 students sent a solution.
6 points:92 students.
5 points:16 students.
4 points:7 students.
3 points:10 students.
2 points:12 students.
1 point:6 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:10 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013