Problem K. 394. (November 2013)
K. 394. The sum of the squares of a positive integer and its two neighbours is equal to the sum of five consecutive integers. How many three-digit numbers of this property are there?
(6 pont)
Deadline expired on December 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a megfelelő pozitív egész szám az \(\displaystyle a\). Ekkor:
\(\displaystyle (a-1)^{2}+a^{2}+(a+1)^{2}=(b-2)+(b-1)+b+(b+1)+(b+2),\)
ahol \(\displaystyle b\) is pozitív egész szám, különben a jobb oldal nem lenne pozitív. Ezt rendezzük egyszerűbb alakra:
\(\displaystyle 3a^{2}+2=5b.\)
A jobb oldal osztható öttel. A bal oldalon az \(\displaystyle a^{2}\) egy négyzetszám, ezért az utolsó számjegye csak 0, 1, 4, 5, 6 vagy 9 lehet. Ha a háromszorosát kettővel növeljük, akkor a végződés 2, 5, 4, 7, 0 vagy 9 lehet. Kétszer kaptunk öttel osztható esetet. Vagyis csak azok a számok lesznek jók, amelyeknek a négyzete 1-re, vagy 6-ra végződik. Ezek a számok 1-re, 4-re, 6-ra, illetve 9-re végződhetnek, és mindegyik ilyen jó számhoz van egy megfelelő \(\displaystyle b\) szám. A megfelelő háromjegyűek: 101, 104, 106, 109, 111, 114, 116, 119, …, 991, 994, 996, 999. Ez \(\displaystyle 4\cdot(99-10+1)=360\) darab szám.
Statistics:
158 students sent a solution. 6 points: 92 students. 5 points: 16 students. 4 points: 7 students. 3 points: 10 students. 2 points: 12 students. 1 point: 6 students. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 10 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013