Problem K. 398. (December 2013)

K. 398. In the six-digit number 135726, the digit in the thousands' place (the 5) is equal to the double of the number of hundred thousands plus the number of ten thousands (that is, 2^.1+3). The digit in the hundreds' place (the 7) is equal to the double of the number of ten thousands plus the number of hundred thousands (that is, 2^.3+1). The digit in the tens' place is twice the number of hundred thousands, and the digit in the units' place is twice the number of ten thousands. The number given as an example above is divisible by six. Is it true that all numbers of this property are divisible by six?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a százezres helyiértéken lévő számjegy \(\displaystyle a\), a tízezres helyiértéken lévő pedig \(\displaystyle b\). A feladat szövege szerint a hatjegyű szám számjegyei a következők lesznek: \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 2a+b\), \(\displaystyle 2b+a\), \(\displaystyle 2a\), \(\displaystyle 2b\). Ezek összege \(\displaystyle 6a+6b=3(2a+2b)\), vagyis a számjegyek összege osztható 3-mal, ezért a szám is. Az egyes helyiértéken lévő számjegy \(\displaystyle 2b\), tehát páros. Ezért a szám osztható kettővel. Mivel osztható hárommal és kettővel, ezért valóban az összes megfelelő hatjegyű szám osztható hattal.

Statistics:

202 students sent a solution.
6 points:	91 students.
5 points:	50 students.
4 points:	21 students.
3 points:	23 students.
2 points:	8 students.
1 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013