Problem K. 402. (December 2013)

K. 402. Prove that if the reciprocals of two consecutive odd numbers are added, the result is a fraction in which the numerator and denominator are the two smaller members of a Pythagorean triple.

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a két szám \(\displaystyle 2a–1\) és \(\displaystyle 2a+1\). Reciprokaik összege: \(\displaystyle \frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2a+1}=\frac{2a-1+2a+1}{(2a-1)(2a+1)}=\frac{4a}{4a^{2}-1}\). Ha a számláló és a nevező egy pitagoraszi számhármas két kisebb tagja, akkor négyzeteik összege négyzetszám. Adjuk hát össze a számláló és a nevező négyzetét: \(\displaystyle (4a)^{2}+(4a^{2}-1)^{2}=16a^{2}+16a^{4}-8a^{2}+1=16a^{4}+8a^{2}+1=(4a^{2}+1)^{2}\), ami valóban négyzetszám.

Statistics:

132 students sent a solution.
6 points:	97 students.
5 points:	5 students.
4 points:	5 students.
2 points:	3 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	16 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013