KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 402. (December 2013)

K. 402. Prove that if the reciprocals of two consecutive odd numbers are added, the result is a fraction in which the numerator and denominator are the two smaller members of a Pythagorean triple.

(6 pont)

Deadline expired on 10 January 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a két szám \(\displaystyle 2a–1\) és \(\displaystyle 2a+1\). Reciprokaik összege: \(\displaystyle \frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2a+1}=\frac{2a-1+2a+1}{(2a-1)(2a+1)}=\frac{4a}{4a^{2}-1}\). Ha a számláló és a nevező egy pitagoraszi számhármas két kisebb tagja, akkor négyzeteik összege négyzetszám. Adjuk hát össze a számláló és a nevező négyzetét: \(\displaystyle (4a)^{2}+(4a^{2}-1)^{2}=16a^{2}+16a^{4}-8a^{2}+1=16a^{4}+8a^{2}+1=(4a^{2}+1)^{2}\), ami valóban négyzetszám.


Statistics:

133 students sent a solution.
6 points:97 students.
5 points:5 students.
4 points:5 students.
2 points:3 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:16 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley