Magyar Information Contest Journal Articles

# Problem K. 402. (December 2013)

K. 402. Prove that if the reciprocals of two consecutive odd numbers are added, the result is a fraction in which the numerator and denominator are the two smaller members of a Pythagorean triple.

(6 pont)

Deadline expired on 10 January 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a két szám $\displaystyle 2a–1$ és $\displaystyle 2a+1$. Reciprokaik összege: $\displaystyle \frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2a+1}=\frac{2a-1+2a+1}{(2a-1)(2a+1)}=\frac{4a}{4a^{2}-1}$. Ha a számláló és a nevező egy pitagoraszi számhármas két kisebb tagja, akkor négyzeteik összege négyzetszám. Adjuk hát össze a számláló és a nevező négyzetét: $\displaystyle (4a)^{2}+(4a^{2}-1)^{2}=16a^{2}+16a^{4}-8a^{2}+1=16a^{4}+8a^{2}+1=(4a^{2}+1)^{2}$, ami valóban négyzetszám.

### Statistics:

 133 students sent a solution. 6 points: 97 students. 5 points: 5 students. 4 points: 5 students. 2 points: 3 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 16 solutions. Unfair, not evaluated: 1 solution.

 Our web pages are supported by: Morgan Stanley