Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 404. (January 2014)

K. 404. What is the largest three-digit number that is divisible by the product of its digits?

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először pár általános szabályt vegyünk észre: ha van páros szám a számjegyek között, akkor párosnak kell lennie az utolsó számjegynek, hiszen a szorzat is páros lesz. 0 nem lehet a számjegyek között. Ezért ha a számban van 5-ös számjegy, vagyis a számjegyek szorzata, és így a szám is osztható 5-tel, akkor az utolsó helyen 5-ös áll (és páros számjegy nincs a számban). Nézzük először a 900-as számokat. Ekkor a számjegyek szorzata 9 többszöröse lesz, így a számjegyek összegének is oszthatónak kell lennie 9-cel. A fenti szabályok mellett így csak a 999, 918, 972, 936 számok jöhetnek szóba, de ezek egyike sem jó. A 800-as számok közötti megfelelő számnak 16 többszörösének kell lennie, hiszen az utolsó számjegy is páros kell, hogy legyen. A 800-nál nagyobb, de 899-nél kisebb 16 többszörösök: 816, 832, 848, 864, 880, 896. Az utolsó kettő azonnal kiesik a 0, illetve a 9 miatt (hiszen a számjegyek összege nem osztható 9-cel). A 832 sem jó, hiszen a számjegyek összege nem osztható 3-mal. Így három lehetőség marad, amik közül egyedül a 816 a jó, így ez a keresett szám.


Statistics:

126 students sent a solution.
6 points:Banczik Zoltán Ádám, Dehnhardt Tom Patrick, Klász Viktória, Knoch Júlia, Kocsis Endre Kende, Szepesvári Csongor, Temesvári Bence, Tóth Tamás, Vajda Alexandra.
5 points:Abonyi-Tóth Barbara, Bödör András, Döbröntei Dávid Bence, Krasznai Adél, Mándoki László, Mikulás Hanna, Novák Réka, Tatai Mihály, Zsombó István.
4 points:28 students.
3 points:32 students.
2 points:29 students.
1 point:14 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014