Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 405. (January 2014)

K. 405. a) Find all sets of three integers such that their product is a positive prime and, if they are listed in increasing order, the differences of consecutive numbers are the same?

b) Find all sets of three integers such that their product is the double of a positive prime and, if they are listed in increasing order, the differences of consecutive numbers are the same?

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Három egész szám szorzata csak úgy lehet prím, ha szerepel közöttük a –1 és az 1 is. A három egész szám tehát a –1, 0, 1; a –3, –1, 1 vagy a –1, 1, 3 lehet. Ezek közül csak a (–3, –1, 1) tesz eleget a feltételeknek.

b) Jelölje p a pozitív prímszámot. A három szám közül vagy mindhárom pozitív, vagy pontosan egy pozitív, kettő pedig negatív. A számokra az alábbi lehetőségek adódnak. A három számot mindig nagyság szerint növekvő sorrendbe írjuk, a szomszédosok különbségét pedig d jelöli.

-p -2 1 d=3 p=5
-2 -p 1 d=1,5 p nem egész
-2 -1 p d=1 p nem prím
-p -1 2 d=3 p nem prím
-1 -p 2 d=1,5 p nem egész
1 2 p d=1 p=3
-2p -1 1 d=2 p nem egész

Tehát két ilyen számhármas van: (-5, -2, 1) és (1, 2, 3).


Statistics:

151 students sent a solution.
6 points:69 students.
5 points:30 students.
4 points:8 students.
3 points:3 students.
2 points:25 students.
1 point:2 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014