KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 406. (January 2014)

K. 406. We say that an integer is a ``mountain number'' if it consists of digits distinct from one another and from 0, and its digits are increasing from the first one to the ``mountain top'', then decreasing from the top to the last digit. The mountain top cannot be the first or the last digit.

a) Determine the largest and the smallest mountain numbers.

b) How many mountain numbers with 4 digits are there?

(6 pont)

Deadline expired on 10 February 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) A legnagyobb hegyszámot akkor kapjuk, ha az összes számjegyet felhasználjuk, és minél előrébb kerülnek a nagy számjegyek. A legnagyobb hegyszám ezek szerint a 897654321, hiszen a 9 nem állhat az elején.

A legkisebb hegyszámot akkor kapjuk, ha a legkevesebb és legkisebb számjegyekből építkezünk. Mivel a feltételek szerint egy hegyszám legalább három számjegyből áll, ezért a legkisebb közülük az 132.

b) A 9 féle számjegyből ki kell választanunk azt a 4-et, amiből a hegyszám felépül, ezt \binom94  = 126-féleképpen tehetjük meg. A kiválasztott négy számjegyből a legnagyobb lesz a csúcs, ez lehet a második vagy a harmadik helyen. Ha a második helyen van, akkor az első helyre a maradék három szám közül bármelyik kerülhet, ez 3 lehetőség, a másik két számjegy sorrendje a szám végén már egyértelmű. Ugyanez a helyzet akkor, ha a csúcs a harmadik számjegy helyére kerül: ekkor az utolsó számjegy lehet háromféle, és az első két helyen adódik a maradék számjegyek sorrendje. Tehát minden kiválasztott számnégyesből 6-féle hegyszám készíthető, azaz mind a 126 választáshoz 6 sorrend tartozik, ami összesen 6.126=756 lehetőséget jelent.


Statistics:

165 students sent a solution.
6 points:Abonyi-Tóth Barbara, Babotán Márk, Banczik Zoltán Ádám, Bödör András, Bőzsöny András, Csapó Márton, Dehnhardt Tom Patrick, Döbröntei Dávid Bence, Frim Levente, Gál Mária Kincső, Gergely Bence, Kamuti Harmat, Kedves Emerencia, Kelkó Balázs, Keresztes László, Király 106 Fanni, Klász Viktória, Kocsis Ábel, Komoróczy Ádám, Koronczi Fanni, Kristóf Mátyás, Magyar Martin, Mándoki László, Mészáros Péter, Novák Réka, Papp Bernadett Judit, Rácz Richárd, Rosta Gergő, Sántha Valér, Souly Alexandra, Szabó Alexandra, Szabó Anna, Szalay Máté Csongor, Szatmári Judit, Szeiler Bernadett, Sziklai Dávid, Szögi Balázs, Szücs Ármin , Tatai Mihály, Tevesz Judit, Tóth 802 Máté, Tóth Réka Borbála, Turi Soma, Vajda Alexandra, Valus Dávid, Veres Károly, Zentai Viktor.
5 points:24 students.
4 points:17 students.
3 points:13 students.
2 points:17 students.
1 point:19 students.
0 point:17 students.
Unfair, not evaluated:11 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley