A K. 406. feladat (2014. január)

K. 406. Nevezzük ,,hegyszámnak'' az olyan számot, amely egymástól és nullától különböző számjegyekből épül fel úgy, hogy az első számjegytől a ,,csúcsáig'' nő a számjegyek értéke, majd a csúcstól kezdve az utolsó számjegyig csökken. A csúcs nem lehet a szám ,,szélén''.

a) Melyik a legnagyobb és a legkisebb hegyszám?

b) Hány négyjegyű hegyszám van?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) A legnagyobb hegyszámot akkor kapjuk, ha az összes számjegyet felhasználjuk, és minél előrébb kerülnek a nagy számjegyek. A legnagyobb hegyszám ezek szerint a 897654321, hiszen a 9 nem állhat az elején.

A legkisebb hegyszámot akkor kapjuk, ha a legkevesebb és legkisebb számjegyekből építkezünk. Mivel a feltételek szerint egy hegyszám legalább három számjegyből áll, ezért a legkisebb közülük az 132.

b) A 9 féle számjegyből ki kell választanunk azt a 4-et, amiből a hegyszám felépül, ezt -féleképpen tehetjük meg. A kiválasztott négy számjegyből a legnagyobb lesz a csúcs, ez lehet a második vagy a harmadik helyen. Ha a második helyen van, akkor az első helyre a maradék három szám közül bármelyik kerülhet, ez 3 lehetőség, a másik két számjegy sorrendje a szám végén már egyértelmű. Ugyanez a helyzet akkor, ha a csúcs a harmadik számjegy helyére kerül: ekkor az utolsó számjegy lehet háromféle, és az első két helyen adódik a maradék számjegyek sorrendje. Tehát minden kiválasztott számnégyesből 6-féle hegyszám készíthető, azaz mind a 126 választáshoz 6 sorrend tartozik, ami összesen 6^.126=756 lehetőséget jelent.

Statisztika:

165 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Abonyi-Tóth Barbara, Babotán Márk, Banczik Zoltán Ádám, Bödör András, Bőzsöny András, Csapó Márton, Dehnhardt Tom Patrick, Döbröntei Dávid Bence, Frim Levente, Gál Mária Kincső, Gergely Bence, Kamuti Harmat, Kedves Emerencia, Kelkó Balázs, Keresztes László, Király 106 Fanni, Klász Viktória, Kocsis Ábel, Komoróczy Ádám, Koronczi Fanni, Kristóf Mátyás, Magyar Martin, Mándoki László, Mészáros Péter, Novák Réka, Papp Bernadett Judit, Rácz Richárd, Rosta Gergő, Sántha Valér, Souly Alexandra, Szabó Alexandra, Szabó Anna, Szalay Máté Csongor, Szatmári Judit, Szeiler Bernadett, Sziklai Dávid, Szögi Balázs, Szücs Ármin , Tatai Mihály, Tevesz Judit, Tóth 802 Máté, Tóth Réka Borbála, Turi Soma, Vajda Alexandra, Valus Dávid, Veres Károly, Zentai Viktor.
5 pontot kapott:	24 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	17 versenyző.
Nem versenyszerű:	11 dolgozat.

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai