Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 412. (February 2014)

K. 412. The centre of a circle of radius \sqrt{2} lies on the circumference of a unit circle. The two circles divide the plane into four parts, two of which are crescent shaped. What is the area of the smaller crescent?

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen A a nagyobb, B a kisebb kör középpontja, C és D a körök metszéspontjai. Ekkor AB, BC, BD a kisebbik kör sugarai, ezért hosszuk 1, míg AC és AD a nagyobb kör sugarai, ezért hosszuk \sqrt2. Tehát az ABC és az ABD háromszögek oldalai 1, 1, \sqrt2, azaz ezek egyenlő szárú derékszögű háromszögek, mindkettőnél a B csúcsnál van a derékszög. Emiatt B a CD szakasz felezőpontja, így CD a kisebb kör átmérője, és az ACD háromszög is egyenlő szárú, derékszögű háromszög. Ha a H-val jelölt hold területéhez hozzáadjuk az S-sel jelölt körszelet területét, akkor éppen a kisebb, egységnyi sugarú kör területének felét kapjuk meg (S és H egyesítése félkör), amelynek nagysága \pi/2. S területét úgy kaphatjuk, hogy az ACD negyedkör területéből kivonjuk az ACD háromszög területét. Az ACD negyedkör területe \frac{(\sqrt2)^{2}\pi}{2}=\pi/2, az ACD háromszög területe pedig \frac{\sqrt2\cdot\sqrt2}{2}=1, ezért S területe \pi/2-1, H területe pedig \pi/2-(\pi/2-1)=1.

Megjegyzés: Ha észrevesszük, hogy a nagy kör negyedének területe megegyezik a kis kör területének felével, akkor látszik, hogy H és az ACD háromszög területe megegyezik, hiszen mindkettőt az S körszelet egészíti az azonos területű negyed-, illetve félkörré.


Statistics:

108 students sent a solution.
6 points:55 students.
5 points:25 students.
4 points:8 students.
3 points:5 students.
2 points:4 students.
1 point:4 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014