KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 413. (February 2014)

K. 413. Determine the digits a and b such that the following equality holds: \frac{a}{b} +\frac{\;\overline{ba}\;}{\overline{ab}} =2, where \overline{ab} and \overline{ba} denote two-digit numbers.

(6 pont)

Deadline expired on 10 March 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a és b pozitív (vagyis egyik sem lehet 0), hiszen mindkét szám kétjegyű. \frac ab+\frac{10b+a}{10a+b}=2, mindkét oldalt megszorozva b(10a+b)-vel: a(10a+b)+(10b+a)b=2b(10a+b). Ebből 5a2+4b2-9ab=0. A bal oldal szorzattá bontható: (5a-4b)(a-b)=0. Tehát 5a=4b vagy a=b. Az első esetben 5|4b miatt csak b=5 lehet, és így a=4. A második esetben pedig a=b adódik.

Az átalakítások ekvivalensek voltak, tehát összesen tíz megfelelő számpár van: (a;b)=(4;5), (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6), (7;7), (8;8), (9;9).


Statistics:

145 students sent a solution.
6 points:Agócs Noémi, Almási István Előd, Ardai István Tamás, Banczik Zoltán Ádám, Bödör András, Csapó Márton, Cseh Noémi, Döbröntei Dávid Bence, Hartung Éva, Hegyi Krisztina, Jakus Balázs István, Kamuti Harmat, Kedves Emerencia, Klász Viktória, Novák Réka, Szabó Alexandra, Szalay Dorottya, Szalay Máté Csongor, Szatmári Judit, Szepesvári Csongor, Sziklai Dávid, Török Attila, Vajda Alexandra, Veres Károly.
5 points:30 students.
4 points:27 students.
3 points:8 students.
2 points:18 students.
1 point:22 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley