Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 416. (March 2014)

K. 416. Given that \overline{abcabc}=91\cdot \overline{acac}, determine the digits a, b, c. (\overline{abcabc} is a six-digit number, and \overline{acac} is a four-digit number, where identical letters denote identical digits.)

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenletet a következő alakban is írhatjuk: \(\displaystyle 1001\cdot\overline{abc}=91\cdot101\cdot\overline{ac}\). Mivel \(\displaystyle 1001=11\cdot91\), így az egyenlet mindkét oldalát osztva 91-gyel kapjuk, hogy:

\(\displaystyle 11\cdot\overline{abc}=101\cdot\overline{ac},\)

\(\displaystyle 11\cdot(100a+10b+c)=101\cdot(10a+c),\)

\(\displaystyle 1100a+110b+11c=1010a+101c,\)

\(\displaystyle 110b=90(c-a),\)

amiből

\(\displaystyle 11b=9(c-a).\)

Mivel \(\displaystyle (9,11)=1\), így \(\displaystyle 11|c-a\). Mivel \(\displaystyle 1\leq a\leq9\) és \(\displaystyle 0\leq c\leq9\), ezért ez csak úgy lehetséges, ha \(\displaystyle c-a=0\), azaz \(\displaystyle a=c\). Ekkor pedig \(\displaystyle b=0\).

Ez összesen kilenc megoldást ad \(\displaystyle (a,b,c)\)-re: \(\displaystyle (1,0,1)\), \(\displaystyle (2,0,2)\), \(\displaystyle (3,0,3)\), \(\displaystyle (4,0,4)\), \(\displaystyle (5,0,5)\), \(\displaystyle (6,0,6)\), \(\displaystyle (7,0,7)\), \(\displaystyle (8,0,8)\) és \(\displaystyle (9,0,9)\).


Statistics:

125 students sent a solution.
6 points:Ardai István Tamás, Banczik Zoltán Ádám, Boros Dániel, Bödör András, Bőzsöny András, Csapó Márton, Döbröntei Dávid Bence, Engelbrecht Patrícia , Frim Levente, Gábriel Péter, Gergely 444 Kornél, György Levente, Harsch Leila, Hegyi Krisztina, Hús Luca, Jakus Balázs István, Kamuti Harmat, Kedves Emerencia, Keresztes László, Knoch Júlia, Losonczy Richárd, Marton Fruzsina, Mikulás Hanna, Moró Balázs, Novák Péter Sámuel, Pálinkás Nikolett, Rigó Péter Botond, Sándor Kristóf, Sántha Valér, Souly Alexandra, Stevlik Felícia, Szabó Alexandra, Szakács Gréta, Szatmári Judit, Szepesvári Csongor, Tatai Mihály, Temesvári Bence, Tibay Álmos, Török Attila, Vajda Alexandra, Veres Károly, Zentai Viktor.
5 points:22 students.
4 points:26 students.
3 points:13 students.
2 points:3 students.
1 point:7 students.
Unfair, not evaluated:12 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2014