KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 419. Six congruent circles are drawn in a circular ring such that each of them touches the circles bounding the ring, and also touches the two adjacent circles. What percentage of the area of the ring is covered by the circles?

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 10 April 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A hat külső kör középpontja szabályos hatszöget alkot. Legyenek \(\displaystyle P\), \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle S\) a kis körök érintési pontjai az ábra szerint. Mivel \(\displaystyle O_1OO_2\angle=60^{\circ}\), és \(\displaystyle OO_1=OO_2\), ezért az \(\displaystyle O_1OO_2\) háromszög szabályos. Így \(\displaystyle O_1O=O_1O_2\), azaz \(\displaystyle O_1P+PO=O_1R+RO_2\). Mivel \(\displaystyle O_1P=O_1R\), ebből \(\displaystyle PO=RO_2\) következik, tehát a belső kis kör sugara megegyezik a hat másik kör sugarával. Jelölje ezt a sugarat \(\displaystyle r\), a nagy kör sugarát pedig \(\displaystyle R\). Ekkor \(\displaystyle R=OT=OP+PO_1+O_1T=3r\).

A körgyűrű területét megkapjuk, ha a nagy kör területéből kivonjuk a belső kis kör területét: \(\displaystyle t_{\rm kgy}=(3r)^2\pi-r^2\pi=8r^2\pi\).

A hat kör területének összege pedig \(\displaystyle t_6=6r^2\pi\).

A kettő aránya: \(\displaystyle \frac{6r^2\pi}{8r^2\pi}=\frac34\).


Statistics on problem K. 419.
113 students sent a solution.
6 points:69 students.
5 points:12 students.
4 points:14 students.
3 points:9 students.
2 points:2 students.
1 point:3 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley