A K. 442. feladat (2014. december)

K. 442. Az 1, 3, 120 számokra igaz, hogy bármely két közülük kiválasztott szám szorzatánál eggyel nagyobb szám négyzetszám. Melyik számot vehetjük hozzájuk a 120-nál kisebb pozitív egész számok közül negyedikként, hogy az állítás továbbra is igaz maradjon?

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás: Jelöljük a negyedik számot \(\displaystyle n\)-nel. Mivel a számok között szerepel az 1, így \(\displaystyle n+1\) négyzetszám. Vegyük tehát a négyzetszámoknál eggyel kisebb számok – a lehetséges \(\displaystyle n\) értékek – háromszorosait egészen \(\displaystyle 99 \cdot 3 = 297\)-ig (hiszen \(\displaystyle n < 120\)), és keressünk köztük olyat, amihez 1-et adva ismét négyzetszámot kapunk. Ilyen csak a 24 lesz, és mivel \(\displaystyle 120 \cdot 8 + 1 = 312\), így \(\displaystyle n = 8\).

\(\displaystyle k^2\)	4	9	16	25	36	49	64	81	100
\(\displaystyle n = k^2–1\)	3	8	15	24	35	48	63	80	99
\(\displaystyle (k^2–1)\cdot3\)	9	24	45	72	105	144	189	240	297
\(\displaystyle (k^2–1)\cdot3+1\)	10	25	46	73	106	145	190	241	298

Statisztika:

89 dolgozat érkezett.

6 pontot kapott: Benda Orsolya, Csizmadia Róbert, Csuha Boglárka, Dalnoki Laura, Dévény Csaba, Dömötör Emőke, Encz Koppány, Farkas Ádám, Farkas Lilla, Farkas Panka, Fekete Balázs Attila, Hegedűs 330 Marcell, János Zsuzsa Anna, Kaló Eszter, Kollár Johanna, Koronczi Fanni, Korpás Isabel, Kovács 124 Marcell, Kubovics Márton, Lakatos Ágnes, Maksa Gergő, Márton Anna, Mészáros Melinda, Németh 962 Ambrus, Németh Csilla Márta, Németh Gergő, Orbán Sára, Öcsi Rebeka, Páhoki Tamás, Pécsi 117 Ildikó, Rimai 217 Dániel, Sepp Márton, Slenker Balázs, Szabadkai Beatrix, Szabó022 Eszter, Szarka Álmos, Tamási Kristóf Áron, Thuróczy Mylan, Tószegi Fanni, Valkó Bence, Varga 274 Tamás.

5 pontot kapott: Agócs Katinka, Fekete Zsófia, Valentiny Anett, Wenhardt Kata.

4 pontot kapott: 9 versenyző.

3 pontot kapott: 12 versenyző.

2 pontot kapott: 13 versenyző.

1 pontot kapott: 6 versenyző.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

Nem versenyszerű: 2 dolgozat.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai

89 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Benda Orsolya, Csizmadia Róbert, Csuha Boglárka, Dalnoki Laura, Dévény Csaba, Dömötör Emőke, Encz Koppány, Farkas Ádám, Farkas Lilla, Farkas Panka, Fekete Balázs Attila, Hegedűs 330 Marcell, János Zsuzsa Anna, Kaló Eszter, Kollár Johanna, Koronczi Fanni, Korpás Isabel, Kovács 124 Marcell, Kubovics Márton, Lakatos Ágnes, Maksa Gergő, Márton Anna, Mészáros Melinda, Németh 962 Ambrus, Németh Csilla Márta, Németh Gergő, Orbán Sára, Öcsi Rebeka, Páhoki Tamás, Pécsi 117 Ildikó, Rimai 217 Dániel, Sepp Márton, Slenker Balázs, Szabadkai Beatrix, Szabó022 Eszter, Szarka Álmos, Tamási Kristóf Áron, Thuróczy Mylan, Tószegi Fanni, Valkó Bence, Varga 274 Tamás.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Fekete Zsófia, Valentiny Anett, Wenhardt Kata.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?