A K. 480. feladat (2015. november)

K. 480. A következő összeadásban az ötféle betű az öt páratlan számjegyet jelenti valamilyen sorrendben: \(\displaystyle a+\overline{bb} +\overline{ccc\vphantom{b}} +\overline{dddd} +\overline{eeeee\vphantom{b}}\). Adjuk meg az összes ilyen alakban előállítható ötjegyű szám összegét.

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az összes ilyen alakban előállítható szám között nincs négyjegyű, csak öt- és hatjegyű. Könnyebb a dolgunk, ha az összes ilyen szám összegéből kivonjuk a hatjegyűek összegét.

Tekintsük az összes ilyen számot. Vegyük például az 1-es számjegyet. Ha ez az \(\displaystyle a\) számban szerepel, akkor a többi számot \(\displaystyle 4!=24\)-féleképpen választhatjuk mellé. És ugyanígy, ha a \(\displaystyle bb\)-ben, \(\displaystyle ccc\)-ben, \(\displaystyle dddd\)-ben vagy az \(\displaystyle eeee\)-ben szerepel, mindig 24-féleképp választhatjuk mellé a másik négy számot.

Ez mind az öt számjegyre igaz, tehát a számok összege \(\displaystyle 24(1+3+5+7+9)(1+11+111+1111+11111)=24\cdot25\cdot12345=7407000\).

Mivel a \(\displaystyle 99999\)-hez bármit adva már hatjegyű számot kapunk, viszont \(\displaystyle 77777+9999+555+33+1\) még ötjegyű, így a hatjegyű számokban a \(\displaystyle 99999\) mindig szerepel az összeg tagjaként, a többi szám összege pedig a fentihez analóg módon számolva: \(\displaystyle 3!\cdot(1+3+5+7)(1+11+111+1111)=118464\). Összesen \(\displaystyle 4!=24\) darab ilyen szám van, tehát a hatjegyűek összege \(\displaystyle 118464+9999*24=2399976\).

Az ötjegyűek összege tehát \(\displaystyle 7407000-(118464+2399976)=4888560\).

Statisztika:

66 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Barta Ákos, Bertók Zsanett, Csáfordi József, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Fekete Barnabás, Gilicze Márton, Hegedüs Péter, Hoffmann Balázs, Kávási Tamás, Kertész Ferenc, Kiss 468 Péter, Kluèka Vivien, Koltai Dániel, Kovács 161 Márton Soma, Mészáros 916 Márton, Nagy Csaba Jenő, Pálvölgyi Szilveszter, Pinke Jakab Zoltán, Póta Balázs, Szöllősi Brigitta, Zsótér Laura.
5 pontot kapott:	Kocsmár Martin, Kovács 576 Kristóf, Nemes Balázs Boldizsár, Sal Dávid.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2015. novemberi matematika feladatai