K. 49. 15 teams participated in a football tournament. Every team played each of the other teams once. 3 points were awarded for winning, 2 for a draw and 1 point for losing the game. At the end of the tournament, every team had a different number of points, 21 being the lowest score. Prove that the team with the highest score has played at least one draw.

Suggested by B. Szalkai, Veszprém

(6 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Minden mérkőzésen összesen 4 pontot osztanak ki a résztvevő csapatok között az eredménytől függetlenül. Így a csapatok által összesen megszerezhető pontok száma a mérkőzések számának négyszerese. A mérkőzések száma , tehát a csapatok összes pontszáma 420. Ha minden csapatnak különböző pontja van, akkor a csapatoknak legalább pontja van összesen, ez viszont (pl. a Gauss módszerrel összeadva) éppen 420. Tehát a végeredmény csak az lehet, hogy a csapatoknak pontja van a helyezések sorrendjében. Így az elsőnek 35 pontja van. A pontszám viszont csak a győzelmekért járó 3 pontokkal és a vereségekért járó 1 pontokkal nem lehet páratlan, mert 14 páratlan szám összege páros. Így az első helyezett biztosan játszott döntetlent.

Statistics on problem K. 49. 177 students sent a solution. 6 points: 103 students. 5 points: 10 students. 4 points: 24 students. 3 points: 5 students. 2 points: 5 students. 1 point: 4 students. 0 point: 20 students. Unfair, not evaluated: 6 solutions.