KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 49. (October 2005)

K. 49. 15 teams participated in a football tournament. Every team played each of the other teams once. 3 points were awarded for winning, 2 for a draw and 1 point for losing the game. At the end of the tournament, every team had a different number of points, 21 being the lowest score. Prove that the team with the highest score has played at least one draw.

Suggested by B. Szalkai, Veszprém

(6 pont)

Deadline expired on 10 November 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Minden mérkőzésen összesen 4 pontot osztanak ki a résztvevő csapatok között az eredménytől függetlenül. Így a csapatok által összesen megszerezhető pontok száma a mérkőzések számának négyszerese. A mérkőzések száma {15\cdot14\over2}=105, tehát a csapatok összes pontszáma 420. Ha minden csapatnak különböző pontja van, akkor a csapatoknak legalább 21 + 22 + 23 +\ldots+ 35 pontja van összesen, ez viszont (pl. a Gauss módszerrel összeadva) éppen 420. Tehát a végeredmény csak az lehet, hogy a csapatoknak 21, 22, \ldots35 pontja van a helyezések sorrendjében. Így az elsőnek 35 pontja van. A pontszám viszont csak a győzelmekért járó 3 pontokkal és a vereségekért járó 1 pontokkal nem lehet páratlan, mert 14 páratlan szám összege páros. Így az első helyezett biztosan játszott döntetlent.


Statistics:

>
177 students sent a solution.
6 points:103 students.
5 points:10 students.
4 points:24 students.
3 points:5 students.
2 points:5 students.
1 point:4 students.
0 point:20 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley