Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 49. (October 2005)

K. 49. 15 teams participated in a football tournament. Every team played each of the other teams once. 3 points were awarded for winning, 2 for a draw and 1 point for losing the game. At the end of the tournament, every team had a different number of points, 21 being the lowest score. Prove that the team with the highest score has played at least one draw.

Suggested by B. Szalkai, Veszprém

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Minden mérkőzésen összesen 4 pontot osztanak ki a résztvevő csapatok között az eredménytől függetlenül. Így a csapatok által összesen megszerezhető pontok száma a mérkőzések számának négyszerese. A mérkőzések száma {15\cdot14\over2}=105, tehát a csapatok összes pontszáma 420. Ha minden csapatnak különböző pontja van, akkor a csapatoknak legalább 21 + 22 + 23 +\ldots+ 35 pontja van összesen, ez viszont (pl. a Gauss módszerrel összeadva) éppen 420. Tehát a végeredmény csak az lehet, hogy a csapatoknak 21, 22, \ldots35 pontja van a helyezések sorrendjében. Így az elsőnek 35 pontja van. A pontszám viszont csak a győzelmekért járó 3 pontokkal és a vereségekért járó 1 pontokkal nem lehet páratlan, mert 14 páratlan szám összege páros. Így az első helyezett biztosan játszott döntetlent.


Statistics:

177 students sent a solution.
6 points:103 students.
5 points:10 students.
4 points:24 students.
3 points:5 students.
2 points:5 students.
1 point:4 students.
0 point:20 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2005