A K. 49. feladat (2005. október)

K. 49. Egy gombfoci-bajnokságon 15 csapat vett részt, és minden csapat minden csapattal egyszer mérkőzött meg. Győzelemért 3, döntetlenért 2, vereségért 1 pont járt. A verseny végén minden csapatnak más pontszáma volt; az utolsó helyezett 21 pontot szerzett. Bizonyítsuk be, hogy a legtöbb pontot szerzett csapat legalább egyszer döntetlenül mérkőzött.

Javasolta: Szalkai Balázs, Veszprém

(6 pont)

A beküldési határidő 2005. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás: Minden mérkőzésen összesen 4 pontot osztanak ki a résztvevő csapatok között az eredménytől függetlenül. Így a csapatok által összesen megszerezhető pontok száma a mérkőzések számának négyszerese. A mérkőzések száma ${15\cdot14\over2}=105$ , tehát a csapatok összes pontszáma 420. Ha minden csapatnak különböző pontja van, akkor a csapatoknak legalább $21 + 22 + 23 +\ldots+ 35$ pontja van összesen, ez viszont (pl. a Gauss módszerrel összeadva) éppen 420. Tehát a végeredmény csak az lehet, hogy a csapatoknak $21, 22, \ldots35$ pontja van a helyezések sorrendjében. Így az elsőnek 35 pontja van. A pontszám viszont csak a győzelmekért járó 3 pontokkal és a vereségekért járó 1 pontokkal nem lehet páratlan, mert 14 páratlan szám összege páros. Így az első helyezett biztosan játszott döntetlent.

Statisztika:

177 dolgozat érkezett.

6 pontot kapott: 103 versenyző.

5 pontot kapott: 10 versenyző.

4 pontot kapott: 24 versenyző.

3 pontot kapott: 5 versenyző.

2 pontot kapott: 5 versenyző.

1 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 20 versenyző.

Nem versenyszerű: 6 dolgozat.

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai

177 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	103 versenyző.
5 pontot kapott:	10 versenyző.
4 pontot kapott:	24 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?