Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 494. feladat (2016. február)

K. 494. Két háromszög kerülete \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle y + 1\) egész számok. Mindkét háromszög egy-egy oldalának hossza \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle x + 1\) egész számok. Mekkora a háromszögek harmadik oldala, ha kerületük összege 27?

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle 27 = y + y + 1\) miatt a két háromszög kerülete \(\displaystyle 13\) és \(\displaystyle 14\). Így a háromszög-egyenlőtlenség miatt egyik oldal sem lehet nagyobb \(\displaystyle 6\)-nál. Adjuk össze az összes oldalt (a hiányzó két oldalt \(\displaystyle a\), illetve \(\displaystyle d\) jelöli, ahol \(\displaystyle d=a+1\)): \(\displaystyle x + x + 1+ x + x + 1 + a + d = 27\), tehát \(\displaystyle 4x + a + d = 25\). Készítsünk táblázatot \(\displaystyle x\) szóba jöhető értékei alapján, figyelembe véve a háromszög-egyenlőtlenség teljesülését is:

\(\displaystyle x\) \(\displaystyle a\) \(\displaystyle d\)
6 nincs pozitív megoldás
5 2 3 lehet
4 4 5 lehet
3 6 7 nem jó
1, 2 \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle d\) értéke túl nagy

A két keresett oldal hossza \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 3\), vagy \(\displaystyle 4\) és \(\displaystyle 5\).

Statisztika:

106 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:56 versenyző.
5 pontot kapott:13 versenyző.
4 pontot kapott:14 versenyző.
3 pontot kapott:13 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2016. februári matematika feladatai