KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 507. (September 2016)

K. 507. A six-pointed star is inscribed in each of two congruent regular hexagons. A smaller six-pointed star is then inscribed in the smaller hexagon formed inside the first star. The points of the star are the vertices of the corresponding hexagon in one case, and the midpoints of the sides of the hexagon in the other case. The resulting figures are shown in the diagram.

Compare the areas of the two small shaded hexagons.

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Kétféleképpen írtunk szabályos hatszögbe csillagot. Mindkét csillag két szabályos háromszög ugyanolyan módon való egymásra helyezése, tehát hasonlóak. Az első módszerben a csillagot tartalmazó hatszög és a csillag csúcsai megegyeznek. Tekintsük a csillagba írt szabályos hatszöget. Legyen ekkor \(\displaystyle b\) a kisebb és a nagyobb hatszög területének aránya, vagyis \(\displaystyle t_{nagy~hatszög}\cdot b=t_{kis~hatszög}\). A második módszerben a csillag csúcsai a csillagot tartalmazó hatszög oldalfelező pontjai. Tekintsük ekkor is a csillagba írt szabályos hatszöget, jelölje ekkor \(\displaystyle c\) az előbbi arányt.

A bal oldali ábrán előbb az első módszert használjuk, majd a belső hatszögbe írunk egy kisebb csillagot a második módszer szerint, így a besatírozott hatszög területe \(\displaystyle t_{nagy~hatszög}\cdot b\cdot c\). A jobb oldali ábrán pedig először a második, majd a keletkező hatszögbe az első módszer szerint írtunk csillagot, ezért a satírozott hatszög területe \(\displaystyle t_{nagy~hatszög}\cdot c\cdot b\). Tehát a két hatszög területe egyenlő.


Statistics:

101 students sent a solution.
6 points:59 students.
5 points:3 students.
4 points:2 students.
3 points:10 students.
2 points:6 students.
1 point:5 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:13 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley