KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 507. A six-pointed star is inscribed in each of two congruent regular hexagons. A smaller six-pointed star is then inscribed in the smaller hexagon formed inside the first star. The points of the star are the vertices of the corresponding hexagon in one case, and the midpoints of the sides of the hexagon in the other case. The resulting figures are shown in the diagram.

Compare the areas of the two small shaded hexagons.

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 10 October 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Kétféleképpen írtunk szabályos hatszögbe csillagot. Mindkét csillag két szabályos háromszög ugyanolyan módon való egymásra helyezése, tehát hasonlóak. Az első módszerben a csillagot tartalmazó hatszög és a csillag csúcsai megegyeznek. Tekintsük a csillagba írt szabályos hatszöget. Legyen ekkor \(\displaystyle b\) a kisebb és a nagyobb hatszög területének aránya, vagyis \(\displaystyle t_{nagy~hatszög}\cdot b=t_{kis~hatszög}\). A második módszerben a csillag csúcsai a csillagot tartalmazó hatszög oldalfelező pontjai. Tekintsük ekkor is a csillagba írt szabályos hatszöget, jelölje ekkor \(\displaystyle c\) az előbbi arányt.

A bal oldali ábrán előbb az első módszert használjuk, majd a belső hatszögbe írunk egy kisebb csillagot a második módszer szerint, így a besatírozott hatszög területe \(\displaystyle t_{nagy~hatszög}\cdot b\cdot c\). A jobb oldali ábrán pedig először a második, majd a keletkező hatszögbe az első módszer szerint írtunk csillagot, ezért a satírozott hatszög területe \(\displaystyle t_{nagy~hatszög}\cdot c\cdot b\). Tehát a két hatszög területe egyenlő.


Statistics on problem K. 507.
101 students sent a solution.
6 points:59 students.
5 points:3 students.
4 points:2 students.
3 points:10 students.
2 points:6 students.
1 point:5 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:13 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley