Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 51. (October 2005)

K. 51. How many number sets of at least two elements are there, such that the elements are consecutive positive integers and their sum is 100?

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás:

Ha egymást követő számok összege páros, akkor közöttük páros számú páratlan számnak kell szerepelnie. A továbbiakban két esetet kell megvizsgálnunk:

a) Páros darab egymást követő számot adunk össze. Ekkor a mondott feltétel csak abban az esetben teljesül, ha a számok darabszáma 4-gyel is osztható (azaz 4, 8, 12, \ldots darab számot adunk össze, így köztük 2, 4, 6, \ldots darab páratlan szám van.) Négy egymást követő szám összege a+a+1+a+2+a+3=4a+6. Ez nem lehet 100, mert nem osztható 4-gyel. Nyolc egymást követő szám összege hasonlóan kiszámítva 8a+28, ha ez 100, akkor a=9; a számhalmaz {9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16}. 12 egymást követő szám összege hasonlóan kiszámítva 12a+66. Ez nem lehet 100, mert nem osztható 4-gyel. 16 vagy több egymást követő szám összege pedig nem lehet 100, mert már a 16 legkisebb egymást követő pozitív egész szám összege is több, mint 100.

b) Páratlan darab egymást követő számot adunk össze. Ekkor a számok összege a középső szám annyiszorosa, ahány számról szó van. Ha a számok összege 100, akkor tehát a középső számnak a 100 többszöröse, méghozzá páratlanszorosa. Így a középső szám lehetséges értékei: 4 és 20. A 4 esetén 25 számról lenne szó, de ezek között negatívok is lennének, tehát ez nem ad megoldást. A másik esetben a {18, 19, 20, 21, 22} számhalmazt kapjuk. Tehát két olyan számhalmaz van, amely megfelel a feltételeknek.


Statistics:

219 students sent a solution.
6 points:55 students.
5 points:54 students.
4 points:48 students.
3 points:28 students.
2 points:18 students.
1 point:11 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2005