A K. 51. feladat (2005. október)

K. 51. Hány olyan legalább két elemű számhalmaz van, amely egymást követő pozitív egész számokból áll, és amelyben az elemek összege 100?

(6 pont)

A beküldési határidő 2005. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás:

Ha egymást követő számok összege páros, akkor közöttük páros számú páratlan számnak kell szerepelnie. A továbbiakban két esetet kell megvizsgálnunk:

a) Páros darab egymást követő számot adunk össze. Ekkor a mondott feltétel csak abban az esetben teljesül, ha a számok darabszáma 4-gyel is osztható (azaz darab számot adunk össze, így köztük darab páratlan szám van.) Négy egymást követő szám összege a+a+1+a+2+a+3=4a+6. Ez nem lehet 100, mert nem osztható 4-gyel. Nyolc egymást követő szám összege hasonlóan kiszámítva 8a+28, ha ez 100, akkor a=9; a számhalmaz {9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16}. 12 egymást követő szám összege hasonlóan kiszámítva 12a+66. Ez nem lehet 100, mert nem osztható 4-gyel. 16 vagy több egymást követő szám összege pedig nem lehet 100, mert már a 16 legkisebb egymást követő pozitív egész szám összege is több, mint 100.

b) Páratlan darab egymást követő számot adunk össze. Ekkor a számok összege a középső szám annyiszorosa, ahány számról szó van. Ha a számok összege 100, akkor tehát a középső számnak a 100 többszöröse, méghozzá páratlanszorosa. Így a középső szám lehetséges értékei: 4 és 20. A 4 esetén 25 számról lenne szó, de ezek között negatívok is lennének, tehát ez nem ad megoldást. A másik esetben a {18, 19, 20, 21, 22} számhalmazt kapjuk. Tehát két olyan számhalmaz van, amely megfelel a feltételeknek.

Statisztika:

219 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	55 versenyző.
5 pontot kapott:	54 versenyző.
4 pontot kapott:	48 versenyző.
3 pontot kapott:	28 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai