Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 510. (September 2016)

K. 510. The numbers \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) are not necessarily different real numbers. Given that \(\displaystyle ab=c\), \(\displaystyle bc=a\) and \(\displaystyle ca=b\), find all possible values of \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\).

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a megadott összefüggések bal és jobb oldalait összeszorozzuk, akkor az \(\displaystyle (abc)^2=abc\) összefüggést kapjuk. Innen \(\displaystyle abc\) vagy \(\displaystyle 0\), vagy \(\displaystyle 1\).

1. eset: \(\displaystyle abc=0\). Ekkor közülük legalább az egyik \(\displaystyle 0\), legyen ez \(\displaystyle a\). Ekkor \(\displaystyle ab=c\) és \(\displaystyle ca=b\) miatt \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) is \(\displaystyle 0\).

2. eset: \(\displaystyle abc=1\). Mivel \(\displaystyle ab=c\), ezért vagy \(\displaystyle ab=c=1\) vagy \(\displaystyle ab=c=–1\) áll fenn. Tehát \(\displaystyle c=1\) vagy \(\displaystyle –1\), ugyanez igaz \(\displaystyle a\)-ra és \(\displaystyle b\)-re is. Ellenőrizve a lehetőségeket, csak az alábbi táblázatba foglalt értékek adnak helyes megoldást:

\(\displaystyle a\) \(\displaystyle b\) \(\displaystyle c\)
1 1 1
1 –1 –1
–1 1 –1
1 –1 –1

Tehát összesen 5 megoldást kaptunk.


Statistics:

128 students sent a solution.
6 points:Antics Hilda, Bárdos Deák Botond, Békésy Ágnes, Benczik Ákos , Biró András, Biró Fanni, Bohus Ádám, Bukor Tamás, Cseh Dániel, Csikós Patrik, Csóti Kristóf, Czett Mátyás, Espán Márton, Fejes 145 Eszter, Görgei Botond Péter, Gyuricza Gergő, Halász 237 Lajos, Hervay Bence, Juhász 315 Dorka, Kim 666 Levente, Kincses Benedek, Kis 194 Károly, Kovács 124 Kinga, Kovács Fruzsina Dóra, Kozák 023 Áron, Kubik Dominik Gergely, Kulisity Mátyás, Leskó Eszter Rózsa, Lezsák Domonkos, Lockár Miklós, Lovász Marcell, Makszin Mátyás, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Német Franciska, Papós Zita, Paróczai Anett, Rittberger András, Szabados Balázs, Szabó 808 Álmos Levente, Szajkó Bence Gergő, Száva Dorina, Szekretár Zsanett, Szemerédi Előd, Szente Péter, Szilágyi Anna Sára, Tornyi Napsugár, Vachal Krisztina, Veres Kristóf, Vincze Lilla.
5 points:20 students.
4 points:4 students.
3 points:21 students.
2 points:21 students.
1 point:11 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2016