Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 510. feladat (2016. szeptember)

K. 510. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) nem feltétlenül különböző valós számok. Tudjuk, hogy \(\displaystyle ab=c\), \(\displaystyle bc=a\) és \(\displaystyle ca=b\). Adjuk meg \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) összes lehetséges értékét.

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha a megadott összefüggések bal és jobb oldalait összeszorozzuk, akkor az \(\displaystyle (abc)^2=abc\) összefüggést kapjuk. Innen \(\displaystyle abc\) vagy \(\displaystyle 0\), vagy \(\displaystyle 1\).

1. eset: \(\displaystyle abc=0\). Ekkor közülük legalább az egyik \(\displaystyle 0\), legyen ez \(\displaystyle a\). Ekkor \(\displaystyle ab=c\) és \(\displaystyle ca=b\) miatt \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) is \(\displaystyle 0\).

2. eset: \(\displaystyle abc=1\). Mivel \(\displaystyle ab=c\), ezért vagy \(\displaystyle ab=c=1\) vagy \(\displaystyle ab=c=–1\) áll fenn. Tehát \(\displaystyle c=1\) vagy \(\displaystyle –1\), ugyanez igaz \(\displaystyle a\)-ra és \(\displaystyle b\)-re is. Ellenőrizve a lehetőségeket, csak az alábbi táblázatba foglalt értékek adnak helyes megoldást:

\(\displaystyle a\) \(\displaystyle b\) \(\displaystyle c\)
1 1 1
1 –1 –1
–1 1 –1
1 –1 –1

Tehát összesen 5 megoldást kaptunk.


Statisztika:

128 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Antics Hilda, Bárdos Deák Botond, Békésy Ágnes, Benczik Ákos , Biró András, Biró Fanni, Bohus Ádám, Bukor Tamás, Cseh Dániel, Csikós Patrik, Csóti Kristóf, Czett Mátyás, Espán Márton, Fejes 145 Eszter, Görgei Botond Péter, Gyuricza Gergő, Halász 237 Lajos, Hervay Bence, Juhász 315 Dorka, Kim 666 Levente, Kincses Benedek, Kis 194 Károly, Kovács 124 Kinga, Kovács Fruzsina Dóra, Kozák 023 Áron, Kubik Dominik Gergely, Kulisity Mátyás, Leskó Eszter Rózsa, Lezsák Domonkos, Lockár Miklós, Lovász Marcell, Makszin Mátyás, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Német Franciska, Papós Zita, Paróczai Anett, Rittberger András, Szabados Balázs, Szabó 808 Álmos Levente, Szajkó Bence Gergő, Száva Dorina, Szekretár Zsanett, Szemerédi Előd, Szente Péter, Szilágyi Anna Sára, Tornyi Napsugár, Vachal Krisztina, Veres Kristóf, Vincze Lilla.
5 pontot kapott:20 versenyző.
4 pontot kapott:4 versenyző.
3 pontot kapott:21 versenyző.
2 pontot kapott:21 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai