Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 527. (December 2016)

K. 527. Calculate the area of the regular dodecagon inscribed in a circle of radius 6 cm.

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szabályos tizenkétszög három szomszédos csúcsa és a köré írható kör középpontja egy olyan ABCK deltoidot határoz meg, melynek szögei \(\displaystyle 60^{\circ}\), \(\displaystyle 75^{\circ}\), \(\displaystyle 50^{\circ}\), \(\displaystyle 75^{\circ}\).

A \(\displaystyle KAC\) háromszög egyenlő oldalú, mert 6 egység hosszúságú oldalai \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szöget zárnak be, és így az \(\displaystyle AC\) átló is 6 egység hosszú. A deltoid a \(\displaystyle KB\) szimmetriaátlója is a kör sugarával egyenlő, vagyis \(\displaystyle KB = KA = 6\).

A deltoid területe \(\displaystyle \frac{6\cdot6}{2}=18\), a tizenkétszög területe ennek a hatszorosa, azaz \(\displaystyle 108~\mathrm{cm}^2\).


Statistics:

105 students sent a solution.
6 points:83 students.
5 points:3 students.
4 points:1 student.
3 points:6 students.
2 points:4 students.
1 point:3 students.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2016