Problem K. 527. (December 2016)
K. 527. Calculate the area of the regular dodecagon inscribed in a circle of radius 6 cm.
(6 pont)
Deadline expired on January 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A szabályos tizenkétszög három szomszédos csúcsa és a köré írható kör középpontja egy olyan ABCK deltoidot határoz meg, melynek szögei \(\displaystyle 60^{\circ}\), \(\displaystyle 75^{\circ}\), \(\displaystyle 50^{\circ}\), \(\displaystyle 75^{\circ}\).
A \(\displaystyle KAC\) háromszög egyenlő oldalú, mert 6 egység hosszúságú oldalai \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szöget zárnak be, és így az \(\displaystyle AC\) átló is 6 egység hosszú. A deltoid a \(\displaystyle KB\) szimmetriaátlója is a kör sugarával egyenlő, vagyis \(\displaystyle KB = KA = 6\).
A deltoid területe \(\displaystyle \frac{6\cdot6}{2}=18\), a tizenkétszög területe ennek a hatszorosa, azaz \(\displaystyle 108~\mathrm{cm}^2\).
Statistics:
105 students sent a solution. 6 points: 83 students. 5 points: 3 students. 4 points: 1 student. 3 points: 6 students. 2 points: 4 students. 1 point: 3 students. 0 point: 5 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2016