A K. 527. feladat (2016. december)

K. 527. Számoljuk ki a 6 cm sugarú körbe írható szabályos tizenkétszög területét.

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A szabályos tizenkétszög három szomszédos csúcsa és a köré írható kör középpontja egy olyan ABCK deltoidot határoz meg, melynek szögei \(\displaystyle 60^{\circ}\), \(\displaystyle 75^{\circ}\), \(\displaystyle 50^{\circ}\), \(\displaystyle 75^{\circ}\).

A \(\displaystyle KAC\) háromszög egyenlő oldalú, mert 6 egység hosszúságú oldalai \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szöget zárnak be, és így az \(\displaystyle AC\) átló is 6 egység hosszú. A deltoid a \(\displaystyle KB\) szimmetriaátlója is a kör sugarával egyenlő, vagyis \(\displaystyle KB = KA = 6\).

A deltoid területe \(\displaystyle \frac{6\cdot6}{2}=18\), a tizenkétszög területe ennek a hatszorosa, azaz \(\displaystyle 108~\mathrm{cm}^2\).

Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	83 versenyző.
5 pontot kapott:	3 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai