Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 528. (December 2016)

K. 528. The numbers from 1 to 14 are written next to the vertices of a regular heptagon such that the sum is the same on each side (that is, for the two vertices lying on the side).

\(\displaystyle a)\) What is this sum? Show a valid construction.

\(\displaystyle b)\) May there be a vertex without any number written next to it?

\(\displaystyle c)\) What may be the sum of the numbers written next to a particular vertex?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) A számok összege 1-től 14-ig 105, de minden számot két oldalhoz is hozzászámolunk, így összesen 210, aminek a hetede 30. Tehát minden oldal mentén 30 az összeg. Egy jó megvalósítás: (1,14), (2,13), (3,12), (4,11), (5,10), (6,9), (7,8).

b) Tegyük fel, hogy az első csúcshoz nem írunk számokat. Mivel az egy oldalon lévő számok összege 30 (lásd az a) rész megoldását), így a csúcsoknál lévő összegek: 0, mert ide nem írtunk számokat; aztán 30, hogy az oldal mentén az összeg kijöjjön; majd ugyanezért a következő csúcsnál megint 0, majd 30, 0, 30, végül 0. Azonban ennek az utolsó csúcsnak az oldalszomszédja az első csúcs, ahová szintén nem írtunk számokat, így ellentmondásra jutottunk.

c) Az egy oldalon lévő számok összege 30 (lásd az a) rész megoldását), így a csúcsoknál lévő összegek: a, 30-a, a, 30-a, a, 30-a, a. Az első és az utolsó csúcsot összekötő oldal mentén így az összeg 2a = 30, azaz a = 15. Tehát az összeg mindenhol 15 kell hogy legyen.


Statistics:

76 students sent a solution.
6 points:Benczik Ákos , Bérczi Péter, Bohus Ádám, Bottlik Domonkos, Csikós Patrik, Espán Márton, Falvay Júlia, Fekete Gergő 0706, Gém Viktória, Hegedűs Eszter, Ill Ninetta, Juhász 315 Dorka, Kincses Benedek, Kis 194 Károly, Kozák 023 Áron, Kulisity Mátyás, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Nagy 345 Bálint, Német Franciska, Rittberger András, Rozgonyi Gergely, Rusvai Miklós, Sándor 111 Réka, Székelyhidi Klára, Szente Péter, Szilágyi Anna Sára, Szirtes Botond, Tornyi Napsugár, Varga 007 Eszter, Vincze Lilla.
5 points:Cseh Dániel, Dombai Zétény, Hevesi Csongor, Korondi 010 Márton, Kovács Fruzsina Dóra, Op Den Kelder Júlia, Papós Zita, Pásti Bence, Szabó 808 Álmos Levente, Szemerédi Előd.
4 points:15 students.
3 points:10 students.
2 points:8 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2016