Problem K. 538. (February 2017)

K. 538. The number 2592 may be called ``printer safe'' because it does not cause any error to print the product \(\displaystyle 2^5\, 9^{2}\) as 2592, since the product is equal to this number. Find out in what way the number 13942125 may be considered ``printer safe'', that is, which digits could be interpreted as exponents without changing the value of the result.

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vizsgáljuk meg, mely számjegyek biztosan nem lehetnek kitevőben. A szám prímtényezős felbontása: \(\displaystyle 13942125 = 3^8\cdot 5^3\cdot 17\), így egyik kitevő sem lehet 8-nál nagyobb, csak ha az 1 kitevője. Ezek alapján nem lehet kitevőben a 9. Mivel a szám páratlan, így egyik páros szám sem lehet egy szorzótényező utolsó számjegye, így nem lehet kitevő a baloldali 2-es, a jobboldali 1-es, sem a számvégi 5-ös. Ha a jobboldali 2-es kitevő lenne, akkor csak egy 5-ös szorzótényező lenne az egész számban, de a prímfelbontásból tudjuk, hogy három is van. Tehát az utolsó négy számjegy, a 2125 biztosan nem szerepel kitevőben, azaz szorzótényező. Nézzük meg a prímtényezős felbontását: \(\displaystyle 2125 = 5^3\cdot 17\), ami azt jelenti, hogy már csak a \(\displaystyle 3^8\) lehet szorzótényező a számban, ami viszont pont \(\displaystyle 9^4\), így a 3-as is kitevő, és megkaptuk a teljes szorzatot: \(\displaystyle 1^3\cdot 9^4\cdot 2125 = 13942125\).

Statistics:

70 students sent a solution.
6 points:	58 students.
5 points:	2 students.
4 points:	4 students.
3 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2017