A K. 539. feladat (2017. február)

K. 539. Hányféleképpen lehet ráírni egy kocka csúcsaira az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 és 8 számokat úgy, hogy minden lapon ugyanannyi legyen a lap csúcsaiban álló számok összege? (Két megoldás ugyanannak számít, ha mindkét kockán minden számnak ugyanazok a számok a szomszédai.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsünk egy lapot és az azzal szemközti lapot. A két lap csúcsaiban álló számok összege egyenlő, így ez az összeg az összes szám összegének a fele. Mivel \(\displaystyle 1+2+3+4+5+6+7+8=\frac{8\cdot9}{2}=36\), így egy lap négy csúcsában álló számok összege 18.

Ezt felhasználva azt kapjuk, hogy egy olyan lapon, melyen a 8-as szám szerepel, a másik három szám a következő lehet: 1, 2, 7; 1, 3, 6; 1, 4, 5; 2, 3, 5.

A 8-cal szomszédos csúcsokra csak olyan számok kerülhetnek, melyek legalább két felbontásban szerepelnek. Négy ilyen szám van: 1, 2, 3, 5. Az 1 három felbontásban szerepel. Mivel összesen négy felbontás van, így az 1-esnek két lapon is szerepelnie kell, tehát egy 8-cal szomszédos csúcson kell lennie. A 8 és a vele szomszédos három szám egyértelműen meghatározza a többi számot is. (Előbb a 8-cat tartalmazó három lapon a hiányzó számokat, végül a nyolcadik. csúcshoz tartozó számot.)

Három megoldás van:

1. megoldás: a 8-cal szomszédos három szám az 1, a 2 és a 3.

2. megoldás: a 8-cal szomszédos három szám az 1, a 2 és az 5.

3. megoldás: a 8-cal szomszédos három szám az 1, a 3 és az 5.

Kocsor Dániel (9. o. t, Szeged, SZTE Gyak. Gimn. és Ált. Isk.) megoldásának felhasználásával

Statisztika:

55 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Acs Imre, Gém Viktória, Görgei Botond Péter, Juhász 315 Dorka, Kis 194 Károly, Kocsor Dániel, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Mendei Barna, Szajkó Bence Gergő, Székelyhidi Klára, Szemerédi Előd.
5 pontot kapott:	Balogh Bence, Bérczi Péter, Csikós Patrik, Espán Márton, Kovács Fruzsina Dóra, Merkl Levente.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. februári matematika feladatai