Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 542. (March 2017)

K. 542. A shop sells a certain souvenir for 1100 forints (HUF, Hungarian currency). A tourist from an exotic country wants to buy one by paying for it with the currency of his own country. In his country, there are three kinds of coins: round, triangular and square. 11 round coins are worth exactly 1500 forints, 11 square coins are worth 1600 forints, and 11 triangular coins are worth 1700 forints. How many of each type of coin should the tourist hand over in order to pay the exact price of 1100 forints? Find all possible answers.

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Álljon a turista által fizetendő összeg \(\displaystyle x\) db kerek, \(\displaystyle y\) db négyszögletes és \(\displaystyle z\) db háromszög alakú pénzből. Ekkor a megadott összefüggések alapján a következő egyenlet írható fel: \(\displaystyle 1100=\frac{1500x}{11}+\frac{1600y}{11}+\frac{1700z}{11}\), rendezve \(\displaystyle 121 = 15x + 16y + 17z\), átalakítva \(\displaystyle 121 = 15(x+y+z) + y + 2z\). Ennek alapján \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) egyike sem lehet 8-nál több, és \(\displaystyle x+y+z\) értéke is 9-nél kisebb. Ha \(\displaystyle x+y+z\) 6 vagy kevesebb lenne, akkor \(\displaystyle y+2z\) értéke legalább 31 lenne. Mivel \(\displaystyle y+z\) értéke legfeljebb 6, ezért ekkor \(\displaystyle z\) értéke legalább 25, ami ellentmondás. Tehát \(\displaystyle x+y+z\) értéke 7 vagy 8. Ha ez az érték 8, akkor \(\displaystyle y + 2z = 1\), ami csak \(\displaystyle y = 1\) és \(\displaystyle z = 0\) esetén valósulhat meg, ekkor \(\displaystyle x = 7\). Ha \(\displaystyle x+y+z\) értéke 7, akkor \(\displaystyle y+2z=16\), de \(\displaystyle y+z\) legfeljebb 7, így \(\displaystyle z\)-nek legalább 9-nek kéne lennie, ami ellentmondás. Tehát csak egy lehetősége van a turistának: 7 db kerek és 1 db négyszögletes pénzzel fizet.


Statistics:

52 students sent a solution.
6 points:Acs Imre, Balogh Bence, Bödő Lajos, Espán Márton, Gyuricza Gergő, Kis 194 Károly, Kocsor Dániel, Kreisz Bálint, Markó Gábor, Merkl Levente, Rátki Luca, Sándor 111 Réka, Szemerédi Előd, Szente Péter, Szirtes Botond, Tornyi Napsugár, Vincze Lilla.
4 points:1 student.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
1 point:18 students.
0 point:13 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2017