KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 545. The three solids shown in the diagrams below are made up of small cubes. If the construction is continued in the same way, how many small cubes will the tenth solid consist of?

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 10 April 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Számoljunk rétegenként: a tizedik építményben 1-es, 2-es, 3-as, ..., 10-es rétegek vannak, bennük rendre 1, \(\displaystyle 4 + 1 = 5\) és \(\displaystyle 9 + 4 = 13\),..., \(\displaystyle 10^2 + 9^2\) kis kockával, ugyanis az egyes rétegekben sakktáblaszerű színezést alkalmazva kiderül, hogy az \(\displaystyle n\). szinten \(\displaystyle n^2+(n-1)^2\) darab kocka van.

A tizedik testben összesen:

\(\displaystyle 1^2+(2^2+1^2)+(3^2+2^2)+...+(9^2+8^2)+(10^2+9^2)+(9^2+8^2)+...+(3^2+2^2)+(2^2+1^2)+1^2=\)

\(\displaystyle =4\cdot(1^2+2^2+3^2+\dots+8^2)+3\cdot9^2+10^2\)

kockából áll.

Ami számológéppel, vagy az első \(\displaystyle n\) pozitív négyzetszám összegére vonatkozó képlettel számolva:

\(\displaystyle 4\cdot\frac{8\cdot9\cdot17}{6}+3\cdot9^2+10^2=1159.\)

Tehát a 10. test 1159 kockából áll.


Statistics on problem K. 545.
60 students sent a solution.
6 points:51 students.
4 points:2 students.
2 points:3 students.
1 point:3 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley