 |
A K. 58. feladat (2005. november) |
K. 58. Hány olyan osztója van a -nek, amely négyzetszám?
(6 pont)
A beküldési határidő 2005. december 12-én LEJÁRT.
Megoldás: Írjuk fel a 857 304 000 prímtényezős felbontását! 857304000=26.37.53.72. Ha egy szám négyzetszám, akkor minden prímtényezője páros kitevőjű hatványon szerepel a prímtényezős felbontásában. A 857 304 000 négyzetszám osztói tehát azok a számok lesznek, melyek prímtényezős felbontásában a 2-es és a 3-as 0, 2, 4 vagy 6 kitevővel, az 5-ös és a 7-es 0 vagy 2 kitevővel szerepel (más prímtényező pedig nincs a felbontásban). Mivel a különböző prímtényezők kitevői egymástól függetlenül választhatók, ezért a megfelelő lehetőségek száma 4.4.2.2=64. Tehát 64 olyan osztója van a 857 304 000-nek, amely négyzetszám.
Statisztika:
194 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 97 versenyző. 5 pontot kapott: 15 versenyző. 4 pontot kapott: 19 versenyző. 3 pontot kapott: 10 versenyző. 2 pontot kapott: 21 versenyző. 1 pontot kapott: 19 versenyző. 0 pontot kapott: 12 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai