A K. 65. feladat

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 65. A valós x számra $x+\frac{1}{x}=5$ . Határozzuk meg az $x^2+\frac{1}{x^2}$ és az $x^3+\frac{1}{x^3}$ pontos értékét.

(6 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.

Megoldás: Használjuk fel, hogy $\left(x+{1\over x}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot{1\over x}+{1\over x^2}=x^2+{1\over x^2}+2$ . Ebből adódik, hogy $x^2+{1\over x^2}=\left(x+{1\over x}\right)^2-2=5^2-2=23$ .

Használjuk fel, hogy $\left(x+{1\over x}\right)^3=x^3+3\cdot x^2\cdot{1\over x}+3\cdot x\cdot{1\over x^2}+{1\over x^3}=$

$=x^3+3x+{3\over x}+{1\over x^3}=x^3+{1\over x^3}+3\cdot\left(x+{1\over x}\right)$ .

Ebből adódik, hogy $x^3+{1\over x^3}=\left(x+{1\over x}\right)^3-3\cdot\left(x+{1\over x}\right)=5^3-3\cdot5=110$ .

A K. 65. feladat statisztikája

198 dolgozat érkezett.

6 pontot kapott: 151 versenyző.

5 pontot kapott: 6 versenyző.

4 pontot kapott: 14 versenyző.

3 pontot kapott: 7 versenyző.

2 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 10 versenyző.

Nem versenyszerű: 6 dolgozat.

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai

Támogatóink:

ELTE