Problem K. 69. (January 2006)
K. 69. Out of the digits of a three-digit number of different digits, all the possible two-digit numbers of different digits are formed, and these two-digit numbers are added. Given that the sum is equal to the original three-digit number, find all such three-digit numbers.
(6 pont)
Deadline expired on February 10, 2006.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Jelöljük az eredeti szám számjegyeit sorban a, b, c-vel. A kialakítható 2-jegyű számok: ,
,
,
,
,
. Ezek összege 22(a+b+c), ami egyenlő az eredeti számmal (tehát az eredeti szám osztható 22-vel), így 22(a+b+c)=100a+10b+c. Ez rendezve a 7(a+b+c)=3(11a+b) alakot ölti. A jobb oldal osztható 3-mal, tehát a bal oldal is, ez viszont azt jelenti, hogy a+b+c osztható 3-mal. Láttuk, hogy az eredeti háromjegyű szám osztható 22-vel, továbbá a számjegyek összege 3-mal, ezért 66 többszörösei jöhetnek szóba. 600-nál nagyobbra nem kell gondolnunk, mert hat kétjegyű szám összege 600-nál nem lehet több. Vagyis csak 132, 198, 264, 330, 396, 462, 528, 594 jöhet szóba. Ellenőrizhetjük, hogy ezek közül a 132, 264, 396 megfelelő, a többi pedig nem.
Statistics:
144 students sent a solution. 6 points: Bihari Mónika, Botlik Barnabás, Dániel Balázs, Izsó Dániel, János Júlia Zsófia, Kunos Ádám, Németh Erika Judit, Petrik Laura. 5 points: 55 students. 4 points: 27 students. 3 points: 19 students. 2 points: 5 students. 1 point: 10 students. 0 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 13 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2006