Problem K. 80. (March 2006)

K. 80. Polyminoes are like dominoes: they are made up of small squares that are joined together along whole sides. Define the ``boundary number'' of a polymino P as the number of different ways to place congruent copies of P around its boundary. (There must be a polymino touching it along each of its edges, and touching edges touch along their full length.) For example the boundary number of the cross is 2, since it can be bounded by its copies in the following two ways: (Arrangements that are mirror images of each other are considered different.) What is the boundary number of a 3×3 square (i.e. one consisting of 9 small squares)?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Egy 3×3-as négyzet egy oldalának lefedéséhez legfeljebb két 3×3-as négyzet elég. Az első négyzetet 3-féleképpen illeszthetjük az oldalhoz, és ez meghatározza a második helyét (ha kell második). A lefedett oldallal szemközti oldalt hasonlóan 3-féleképpen határolhatjuk, ekkor a két kimaradt oldalhoz már csak egyféleképpen tehetünk hozzá négyzetet. Ez eddig 9 különböző határolás, de ugyanezt elmondhatjuk a másik két oldalpárra is, ez már 18 eset, de azt az esetet, amikor minden oldalt csak egy négyzettel határolunk, kétszer számoltuk, így egyszer le kell vonni. Tehát 17-féleképpen lehet körülhatárolni a 3×3-as négyzetet önmagával.

Megjegyzés: Hasonló módon bizonyítható, hogy az n×n-es négyzet határoló száma n²-1.

Statistics:

87 students sent a solution.
6 points:	Bencs 111 Ferenc, Bíró Attila, Botlik Barnabás, Csányi János Dániel, Csere Kálmán, Danyik Dávid, Elhag Feisal, Englert Dávid, Gazdi László, Gévay Gábor, Hajnal Kristóf, Huszár Kristóf, Izsó Dániel, János Júlia Zsófia, Kálló Gábor, Kovács 007 Attila, Kovács Györgyi, Kunos Ádám, Lang Péter, Lantos Tamás, Leskó Lívia, Márki Róbert, Meszlényi Regina, Michael Swift, Nagy 777 Boglárka, Petróczy Dóra Gréta, Pupli Dorottya, Ripszám Réka, Róka Péter, Schönek Barnabás, Seres Dániel, Slezsák Tamás, Szabó 313 Gábor, Szabó 963 Noémi, Szerb Anna, Szikszai Mónika, Szikszay László, Tamási János.
5 points:	Besnyő Réka, Kovács Sarolta, Kungl 008 Ákos, Murányi Bence, Petrik Laura, Prinz Dániel, Szabó 222 Rita, Toldi Veronika, Trásy Tamás.
4 points:	5 students.
3 points:	6 students.
2 points:	12 students.
1 point:	11 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2006