KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 82. We have two cubes of not necessarily the same size with integer edges. They are placed on top of each other, so that the upper cube has a whole face touching a face of the lower cube. The volume of the solid obtained in this way expressed incube units is the same as the measure of the surface area in square units. How long are the edges of the original cubes?

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 10 April 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Legyen az alul levő kocka éle a, a felül levőé b. A teljes lappal érintkezés csak úgy valósítható meg, ha a\geqb. A kapott test térfogata a3+b3, felszíne a két kocka felszínének összegéből kivonva az érintkező lap területének kétszerese: 6a2+6b2-2b2. A feladat szövege szerint 6a2+6b2-2b2=a3+b3, azaz 6a2+4b2=a3+b3. Ha b értéke legalább 6, akkor a értéke is legalább 6, és ekkor 6a2\leqa3, 4b2<b3, tehát 6a2+4b2<a3+b3, így az egyenlőség nem állhat fenn. A b értéke tehát csak 1, 2, 3, 4 vagy 5 lehet. Vizsgáljuk meg külön az a=b esetet! Ekkor 10a2=2a3, azaz a=b=5 adódik. A továbbiakban csak az a>b eseteket vizsgáljuk. Írjuk fel b lehetséges értékei esetén a megoldandó egyenletet! Figyelembe véve, hogy a>b, alkalmazhatunk felső becslést, amelyből a lehető legnagyobb értéke kiderül! A kapott lehetséges értékeket megvizsgálva megtalálhatjuk az összes megoldást.

Ha b értéke 1, akkora a kapott egyenlet 6a2+3=a3, ebből a becslés: a3=6a2+3<7a2, ahonnan a maximális értéke 6, lehetséges értékei pedig 2, 3, 4, 5, 6; ezekből nincs egy megoldás sem.

Ha b értéke 2, akkor a a kapott egyenlet 6a2+8=a3, ebből a becslés: a3=6a2+8<7a2, ahonnan a maximális értéke 6, lehetséges értékei pedig 3, 4, 5, 6; ezekből nincs egy megoldás sem.

Ha b értéke 3, akkor a a kapott egyenlet 6a2+9=a3, ebből a becslés: a3=6a2+9<7a2, ahonnan a maximális értéke 6, lehetséges értékei pedig 4, 5, 6; ezekből nincs egy megoldás sem.

Ha b értéke 4, akkor a a kapott egyenlet 6a2=a3, ebből a megoldás a=6.

Ha b értéke 5, akkor a a kapott egyenlet 6a2-25=a3, ebből a becslés: a3=6a2-25<6a2, ahonnan a maximális értéke 5, ekkor sincs megoldás.

Tehát két megoldás adódik: mindkét kocka éle 5 cm, vagy az egyiké 4, a másiké 6 cm.

Megjegyzés: Miután megtaláltuk b öt lehetséges értékét, további meggondolásokkal csökkenthetjük a vizsgálandó esetek számát. Lehet pl. a kapott egyenletekben oszthatósági feltételeket szabni: b=1, illetve 3 esetén a-nak 3-mal oszthatónak kell lennie, tehát csak a 3 és a 6, illetve csak a 6 jöhet szóba; b=2 esetén a-nak párosnak kell lennie stb. Vagy pl. azt is figyelembe lehet venni, hogy b=1,2,3 esetén a kapott egyenletek értelmében a3>6a2, tehát a-nak eleve 6-nál nagyobbnak kéne lenni, ami nem is tud megvalósulni a felső becslés miatt.


Statistics on problem K. 82.
107 students sent a solution.
6 points:Bálint Alexandra Mercédesz, Bereczki 118 Katalin, Botlik Barnabás, Csere Kálmán, Dániel Balázs, Englert Dávid, Erdész Zsombor Bálint, Kovács 002 Krisztina, Kunos Ádám, Kurgyis Kata, Lantos Tamás, Meszlényi Regina, Petrik Laura, Petróczy Dóra Gréta, Seres Dániel, Szikszay László, Szlovák Emese, Varga Csilla, Zsupanek Alexandra.
5 points:Barna Barnabás, Besnyő Réka, Danyik Dávid, Horváth 623 Dóra, Jónás Eszter, Király Csilla, Pipek Orsolya, Slezsák Tamás, Szabó 313 Gábor, Szabó 963 Noémi, Szabó Eszter, Zlatniczki Ádám.
4 points:7 students.
3 points:27 students.
2 points:35 students.
1 point:3 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2006

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley