Problem P. 4310. (January 2011)
P. 4310. An air gun is modelled such that initially there is some compressed air in a container of volume V1, at a pressure of p1. In the barrel there is a small projectile of mass m right in front of the container's opening. a) How long should the barrel be in order to accelerate the projectile to the greatest speed? b) What can the maximum speed of the projectile be? (Neglect friction and the leaking of the high-pressure air.) Data: m=0.51 g, the inner diameter of the barrel is 4.5 mm, p1=2 MPa, V1=1 cm3.
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2011.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ideális esetben a cső éppen olyan hosszú, hogy a lövedék gyorsulása a puska végéhez érve éppen zérussá válik. A folyamat gyorsasága miatt gázban lejátszódó nemegyensúlyi folyamatot modellezhetjük adiabatikus állapotváltozással. Ezek felhasználásával a puskacső ideális hosszára
\(\displaystyle L=\frac{4\left[ \left( \frac{p_1}{p_0} \right)^{\frac{1}{\kappa}}-1\right]V_1}{D^2 \pi}\approx 47 \text{ cm}\)
adódik (levegőre \(\displaystyle \kappa\approx 7/5\) a fajhőviszony).
\(\displaystyle b)\) Az adiabatikus állapotváltozás miatt a gáz belső energiájának megváltozásának és a gáz munkájának az összege zérus. A gáz munkája egyrészt növeli a lövedék mozgási energiáját (\(\displaystyle mv^2/2\)), másrészt ,,megemeli a légkört" (\(\displaystyle p_0\Delta V\)). Ebből a lövedék sebességére az ideális csőhossznál a következő adódik:
\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2}{m}\left( \frac{f}{2}\left(p_1 V_1-p_0\left(V_1+\frac{D^2\pi}{4}L \right)\right)-p_0 \frac{D^2\pi}{4}L \right)}\approx 91 \text{ m/s}.\)
Statistics:
93 students sent a solution. 5 points: 56 students. 4 points: 3 students. 3 points: 3 students. 1 point: 7 students. 0 point: 19 students. Unfair, not evaluated: 5 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, January 2011