 |
A P. 4762. feladat (2015. október) |
P. 4762. Az \(\displaystyle A_0\) keresztmetszetű fahenger aljára egy vasdarabot erősítettünk, így a fahenger stabilan úszik abban a \(\displaystyle \varrho_1\) sűrűségű folyadékban, amely egy \(\displaystyle A_1\) keresztmetszetű, hengeres főzőpohárban van. Ez a főzőpohár maga is úszik egy \(\displaystyle A_2>A_1\) keresztmetszetű másik főzőpohárban lévő \(\displaystyle \varrho_2\) sűrűségű folyadékban. E nagyobb pohár is úszik, mégpedig az \(\displaystyle A_3>A_2\) keresztmetszetű, még szélesebb főzőpohárban lévő \(\displaystyle \varrho_3\) sűrűségű folyadékban és így tovább\(\displaystyle \ldots\). Összesen \(\displaystyle n\) darab főzőpohár helyezkedik el az asztalon, mindegyik pohár tengelye és a fahengeré is függőleges.
Ezután a fahengert függőlegesen lefelé nyomjuk \(\displaystyle F\) erővel. (Sem a fahenger alja, sem a főzőpoharaké nem ér hozzá a tartóedény aljához.)
\(\displaystyle a)\) Mennyivel nő a fahenger bemerülése az első folyadékba?
\(\displaystyle b)\) Mennyivel emelkedik a folyadékszint az első főzőpohárban?
\(\displaystyle c)\) Mennyivel emelkedik a folyadékszint az \(\displaystyle i\)-edik főzőpohárban?
Közli: Lambodar Mishra, Ahmedabad, India
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük az \(\displaystyle i\)-edik főzőpohárban lévő folyadék magasságát \(\displaystyle H_i\)-vel, a benne úszó kisebb főzőpohár (\(\displaystyle i=1\) esetén a fahenger) bemerülési mélységét \(\displaystyle h_{i-1}\)-vel, az \(\displaystyle i\)-edik pohár és a benne lévő összes többi test, illetve folyadék súlyát pedig \(\displaystyle G_i\)-vel (a fahenger és a vasnehezék összsúlyát \(\displaystyle G_0\)-lal).
Az \(\displaystyle i\)-edik pohár (és a benne lévő összes anyag) úszásának feltétele, amikor nem hat külső erő:
\(\displaystyle G_i=\varrho_{i+1} g A_i h_{i},\)
illetve \(\displaystyle F\) nagyságú, függőlegesen lefelé ható külső erő esetén:
\(\displaystyle G_i+F=\varrho_{i+1} g A_i\left(h_{i}+\Delta h_{i}\right).\)
A fenti két egyenlet különbségéből megkapjuk az \(\displaystyle i\)-edik pohár bemerülésének növekedését:
\(\displaystyle \Delta h_i=\frac{F}{\varrho_{i+1} g A_i},\)
a fahengerre pedig
\(\displaystyle \Delta h_0=\frac{F}{\varrho_{1} g A_0}.\)
Az \(\displaystyle i\)-edik pohár és a benne lévő összes anyag teljes súlya a fenéklapra felülről ható erővel egyenlő:
\(\displaystyle G_i= \varrho_{i} g A_i H{i},\)
illetve \(\displaystyle F\) külső erőnél
\(\displaystyle G_i+F=\varrho_{i} g A_i \left(H{i}+\Delta H_i\right).\)
Innen az edény aljától mért folyadékszint emelkedése \(\displaystyle F\) erő hatására:
\(\displaystyle \Delta H_i= \frac{F}{\varrho_{i} g A_i},\)
speciálisan az első pohárnál:
\(\displaystyle \Delta H_1= \frac{F}{\varrho_{1} g A_1}.\)
Statisztika:
69 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Asztalos Bogdán, Balogh Menyhért, Blum Balázs, Büki Máté, Csorba Benjámin, Édes Lili, Fekete Balázs Attila, Forrai Botond, Gémes Antal, Gergely 444 Kornél, Iván Balázs, Jakus Balázs István, Juhász 326 Dániel, Kádár 012 István, Kasza Bence, Korecz Gábor, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács Péter Tamás, Körmöczi Dávid, Mány Bence, Németh 777 Róbert, Németh Ciprián, Olosz Adél, Pszota Máté, Sal Kristóf, Sallai Krisztina, Szántó Benedek, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Tomcsányi Gergely, Tompa Tamás Lajos, Tóth Adrián, Vitay Olivér. 4 pontot kapott: Di Giovanni András, Kiss Antónia Véda, Radnai Bálint. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2015. októberi fizika feladatai